Физика / Молекулярная физика
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
Основное уравнение МКТ связывает давление газа с массой молекулы, концентрацией и средним квадратом скорости: p=nm0⟨v²⟩/3. В форме через плотность запись принимает вид p=ρv²/3, где v — средняя квадратичная скорость.
Формула
Два положения одной частицы: до и после упругого удара. Давление получают усреднением множества таких столкновений.
Обозначения
- $p$
- абсолютное давление газа, Па
- $n$
- концентрация молекул, м⁻³
- $m_0$
- масса одной молекулы, кг
- $⟨v²⟩$
- средний квадрат скорости, м²/с²
- $ρ$
- плотность газа, кг/м³
- $v_rms$
- среднеквадратичная скорость, м/с
Условия применения
Модель предполагает большое число одинаковых точечных частиц, хаотическое движение, упругие столкновения и отсутствие заметного взаимодействия между ударами. Газ находится в равновесии, поэтому давление является средним по времени и по стенке, а распределение скоростей не выделяет направление. Давление здесь абсолютное: избыточное показание манометра необходимо сложить с атмосферным давлением.
Ограничения
Уравнение не описывает отдельный удар и не предсказывает мгновенное давление в малом числе частиц. Для реального газа при сильном сжатии или охлаждении нужно учитывать взаимодействия. Нельзя заменять ⟨v²⟩ квадратом средней скорости во всех задачах: v_rms=√⟨v²⟩, тогда как средняя по модулю скорость имеет другое значение.
Подробное объяснение
Давление возникает потому, что молекулы передают стенке импульс при столкновениях. Для движения вдоль одной оси вклад связан с квадратом скорости этой компоненты. В изотропном газе направления равноправны, поэтому средний квадрат полной скорости делится между тремя осями: ⟨v_x²⟩=⟨v²⟩/3. Отсюда появляется множитель 1/3.
Чем больше молекул в объёме и чем тяжелее каждая молекула, тем больше импульса передаётся стенке. Поэтому давление пропорционально n и m0. Увеличение характерной скорости действует сильнее: в формуле стоит v². Если скорость возрастает в два раза при прочих равных, давление возрастает в четыре раза.
Произведение nm0 равно массовой плотности ρ. Поэтому ту же связь удобно писать как p=ρv_rms²/3. Эта форма полезна, когда в условии дана плотность газа, но неизвестно число молекул. Единицы сходятся: (кг/м³)(м²/с²)=кг/(м·с²)=Па.
Связь с температурой получается из равенства средней кинетической энергии одной частицы и 3kBT/2: m0⟨v²⟩/2=3kBT/2. Подстановка в основное уравнение даёт p=nkBT. Так виден физический смысл температуры: она задаёт среднюю энергию хаотического поступательного движения.
Формула относится к поступательному движению. Для многоатомных молекул могут добавляться вращательные и колебательные степени свободы в энергетических задачах, но давление идеального газа по-прежнему определяется поступательной передачей импульса стенке.
Как пользоваться формулой
- Выберите данные: плотность ρ позволяет сразу использовать p = ρv²/3; для концентрации n потребуется масса одной молекулы m₀.
- Переведите плотность в кг/м³, скорость в м/с. Если дана молярная масса M в кг/моль, найдите m₀ = M/N_A.
- Убедитесь, что скорость средняя квадратичная. Для заданного среднего квадрата ⟨v²⟩ не возводите число в квадрат повторно.
- Умножьте ρ на v² и разделите на 3. В записи через молекулы сначала вычислите произведение nm₀ — оно равно плотности.
- Полученное давление выразите в Па. Обратной подстановкой v = √(3p/ρ) проверьте исходную скорость и порядок результата.
Историческая справка
Механическое объяснение давления движущимися частицами появилось в ранних работах по кинетической теории, включая рассуждения Даниэля Бернулли в XVIII веке. В XIX веке Клаузиус уточнил роль столкновений и средней длины свободного пробега, а Максвелл и Больцман развили статистическое описание скоростей. Это перевело разговор о газе от образа «частиц, ударяющих стенку» к усредняемому уравнению.
Основное уравнение МКТ получают из закона сохранения импульса для упругого столкновения со стенкой. Для каждой координаты давление связано со средним квадратом соответствующей компоненты скорости. При изотропном движении три компоненты равны в среднем, поэтому сумма даёт множитель 1/3 перед полной величиной ⟨v²⟩.
Позднее это уравнение связали с температурой через распределение Максвелла и среднюю кинетическую энергию. Современная школьная запись p=nm0⟨v²⟩/3 сохраняет этот вывод, а форма p=ρv_rms²/3 удобна для инженерных оценок. Исторически это результат коллективного развития кинетической теории, а не формула одного автора.
Историческая линия формулы
Основное уравнение МКТ не имеет единственного автора: его механические идеи восходят к Бернулли, а строгая кинетическая и статистическая разработка связана с Клаузиусом, Максвеллом и Больцманом. Множитель 1/3 следует из изотропии движения и трёх пространственных направлений.
Пример
Задача 1. Газ имеет плотность 1,20 кг/м³ и среднеквадратичную скорость молекул 500 м/с. Найти давление по основному уравнению МКТ. Дано: ρ = 1,20 кг/м³, v_rms = 500 м/с. Используем p = ρv_rms²/3. Сначала v_rms² = 500² = 250000 м²/с². Тогда p = (1,20 · 250000)/3 = 300000/3 = 100000 Па. Ответ: p = 1,00 · 10⁵ Па. Проверка единиц: кг/м³ · м²/с² = кг/(м · с²) = Н/м² = Па. Задача 2. Плотность оставили 1,20 кг/м³, а скорость увеличили до 750 м/с. Тогда p₂ = 1,20 · 750²/3 = 1,20 · 562500/3 = 225000 Па. Отношение p₂/p₁ = (750/500)² = 2,25, что совпадает с вычислением и подтверждает квадратную зависимость давления от v_rms. При таком сравнении меняется температура газа, а не только скорость одной выбранной молекулы: речь идёт о двух равновесных состояниях всего образца.
Частая ошибка
Нельзя убрать множитель 1/3: он появляется из равенства вкладов трёх координатных направлений. Нельзя подставлять обычную среднюю скорость вместо v_rms без пересчёта, потому что формула содержит ⟨v²⟩. Часто путают массу одной молекулы m0 с молярной массой M; для M нужна отдельная связь m0=M/N_A. Ещё одна ошибка — использовать плотность в г/см³ вместе со скоростью в м/с: все величины сначала переводят в СИ. Наконец, формула описывает равновесное среднее идеального газа, поэтому мгновенный результат для одной частицы или сильно неидеального газа нельзя выдавать за точное давление.
Практика
Задачи с решением
Скорость по давлению и плотности
Условие. Давление газа 100 кПа, его плотность 1,2 кг/м³. Найдите среднюю квадратичную скорость.
Решение. Переводим давление: 100 кПа = 100000 Па. Из p = ρv²/3 находим v = √(3p/ρ) = √(3 · 100000/1,2) = √250000 = 500 м/с.
Ответ. 500 м/с.
Давление по массе молекулы
Условие. n = 2,0 · 10²⁵ м⁻³, m₀ = 5,0 · 10⁻²⁶ кг, средняя квадратичная скорость 600 м/с. Найдите давление.
Решение. Сначала ρ = nm₀ = 1,0 кг/м³. Затем p = ρv²/3 = 1,0 · 600²/3 = 120000 Па. Здесь m₀ — масса одной частицы.
Ответ. 120 кПа.
Дополнительные источники
- https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/13-4-kinetic-theory-atomic-and-molecular-explanation-of-pressure-and-temperature
- https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/2-2-pressure-temperature-and-rms-speed
- https://www.nist.gov/pml/special-publication-811/nist-guide-si-chapter-8
- BIPM. Определяющие постоянные СИ с 20 мая 2019 года: https://www.bipm.org/en/measurement-units
Связанные формулы
Химия
Масса одной молекулы через молярную массу
Масса одной молекулы или другой структурной единицы равна молярной массе, делённой на постоянную Авогадро: m₀ = M/Nₐ. M и ответ должны быть выражены в согласованных единицах.
Физика
Уравнение Менделеева - Клапейрона
Уравнение Менделеева–Клапейрона связывает давление, объём, температуру и количество вещества идеального газа: pV = νRT. Оно переводит между макроскопическими параметрами одного состояния.
Физика
Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа равна 3kT/2. Она зависит только от абсолютной температуры, а не от массы конкретного газа.
Физика
Средняя квадратичная скорость молекул
Средняя квадратичная скорость vᵣₘₛ = √(3RT/M) характеризует корень из среднего квадрата скоростей молекул идеального газа. Это статистическая скорость в м/с, а не скорость потока газа.
Физика
Концентрация молекул газа и давление
Концентрация молекул n показывает, сколько частиц приходится на единицу объёма. Для идеального газа она связывает микроскопическое число молекул с давлением: p=nkBT.