Все формулы РФ

Физика / Молекулярная физика

Длина свободного пробега молекулы

Средняя длина свободного пробега показывает, какое расстояние молекула газа в среднем проходит между последовательными столкновениями.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭФормулы по физике за 10 классФормулы по физике для ЕГЭМолекулярная физикаКалькуляторЕсть историческая справкаТермодинамика

Формула

$$\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,\pi d^2 n}$$
Траектория Пробег между столкновениями
lambda

lambda - средняя длина таких участков, а не фиксированное расстояние каждого пробега.

Обозначения

$\lambda$
средняя длина свободного пробега, м
$d$
эффективный диаметр молекулы, м
$n$
концентрация молекул, число частиц в единице объема, 1/м^3

Условия применения

  • Газ разрежен, столкновения можно рассматривать как парные столкновения твердых сфер.
  • Молекулы имеют эффективный диаметр d, одинаковый для рассматриваемой модели.
  • Газ находится в состоянии, где можно говорить о средней концентрации n.

Ограничения

  • Для плотных газов и жидкостей модель свободного пробега твердых сфер становится грубой.
  • Эффективный диаметр может зависеть от температуры и типа взаимодействия молекул.
  • Формула дает среднее значение; реальные пробеги распределены случайно.

Подробное объяснение

Молекула газа движется по почти прямой линии до столкновения с другой молекулой. Чем больше молекулы и чем больше их концентрация, тем выше вероятность столкновения на заданном пути. Эффективная площадь столкновения пропорциональна pi d^2, а множитель sqrt(2) учитывает, что движется не одна молекула среди неподвижных препятствий, а все молекулы движутся хаотически.

Средняя длина свободного пробега важна для понимания границы между молекулярным и сплошным описанием. Если характерный размер сосуда или канала намного больше lambda, газ часто можно описывать как сплошную среду. Если размеры сравнимы с lambda, появляются разреженные режимы, важные в вакуумной технике и микроканалах.

Поскольку n связано с давлением и температурой через уравнение идеального газа, длина свободного пробега растет при уменьшении давления и увеличивается в вакууме. Это объясняет, почему при низком давлении молекулы могут пролетать значительные расстояния без столкновений.

Как пользоваться формулой

  1. Определите эффективный диаметр молекулы d в метрах.
  2. Найдите численную концентрацию молекул n в 1/м^3.
  3. Вычислите столкновительное сечение pi d^2.
  4. Подставьте значения в lambda = 1 / (sqrt(2) pi d^2 n).
  5. Сравните lambda с характерным размером сосуда или канала.

Историческая справка

Понятие свободного пробега возникло в кинетической теории газов XIX века, когда физики стремились объяснить вязкость, теплопроводность и диффузию через движение и столкновения молекул. Рудольф Клаузиус ввел представление о среднем пути молекулы между столкновениями, а Максвелл и Больцман развили статистическое описание скоростей и столкновений. Эта идея стала важной для связи микроскопической структуры газа с наблюдаемыми транспортными свойствами. В XX веке длина свободного пробега стала ключевым параметром вакуумной техники, аэродинамики разреженных газов и физики плазмы. Сейчас через нее оценивают, можно ли применять уравнения сплошной среды или нужно переходить к молекулярному описанию потока.

Историческая линия формулы

Средняя длина свободного пробега связана с развитием кинетической теории Клаузиуса, Максвелла и Больцмана. Формула с множителем sqrt(2) относится к модели хаотически движущихся молекул с эффективным столкновительным диаметром.

Пример

Пусть эффективный диаметр молекулы d = 3 * 10^-10 м, а концентрация газа n = 2,5 * 10^25 м^-3. Тогда lambda = 1 / (sqrt(2) pi d^2 n). Квадрат диаметра равен 9 * 10^-20 м^2. Произведение sqrt(2) pi d^2 n примерно равно 1,414 * 3,14 * 9 * 10^-20 * 2,5 * 10^25 ≈ 1,0 * 10^7 1/м. Значит lambda около 1 * 10^-7 м, то есть примерно 0,1 мкм. Это намного больше размера молекулы, но мало по сравнению с обычными лабораторными размерами. Проверка размерности: d^2 n имеет единицу 1/м, значит обратная величина дает метры, как и должна давать длина пробега.

Частая ошибка

Частая ошибка - использовать плотность массы вместо концентрации молекул n. Нужна именно численная концентрация частиц в 1 м^3. Вторая ошибка - забывать квадрат диаметра: столкновительное сечение пропорционально d^2. Еще одна ошибка - считать длину свободного пробега постоянной для любого давления; при уменьшении концентрации она растет обратно пропорционально n.

Практика

Задачи с решением

Изменение давления

Условие. Концентрацию газа уменьшили в 10 раз при том же диаметре молекул. Как изменилась lambda?

Решение. lambda обратно пропорциональна n, значит при уменьшении n в 10 раз длина свободного пробега возрастет в 10 раз.

Ответ. увеличится в 10 раз

Диаметр молекулы

Условие. Эффективный диаметр молекулы увеличили в 2 раза при той же концентрации. Как изменится lambda?

Решение. lambda пропорциональна 1/d^2. При увеличении d в 2 раза d^2 растет в 4 раза, lambda уменьшается в 4 раза.

Ответ. уменьшится в 4 раза

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax University Physics, раздел Mean Free Path and Kinetic Theory
  • Sivukhin, General Course of Physics, Molecular Physics

Связанные формулы

Физика

Распределение Максвелла по скоростям

$f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}v^2 e^{-mv^2/(2kT)}$

Распределение Максвелла задает долю молекул идеального газа, имеющих скорости около заданного значения v при температуре T.

Физика

Средняя квадратичная скорость молекул

$v_{\text{с.кв.}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$

Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа связана с температурой и молярной массой и определяет среднюю кинетическую энергию поступательного движения.

Физика

Уравнение Менделеева - Клапейрона

$pV=\nu RT$

Уравнение состояния идеального газа связывает давление, объем, количество вещества и абсолютную температуру газа. Оно задает равновесную модель разреженного газа.