Все формулы РФ

Физика / Молекулярная физика

Распределение Максвелла по скоростям

Распределение Максвелла задает долю молекул идеального газа, имеющих скорости около заданного значения v при температуре T.

Опубликовано: Обновлено:

Формулы по физике за 10 классФормулы по физике для ЕГЭМолекулярная физикаСтатистическая физикаКалькуляторЕсть историческая справкаТермодинамика

Формула

$$f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}v^2 e^{-mv^2/(2kT)}$$
График распределения Кривая Максвелла
vf

Температура меняет положение максимума и ширину распределения.

Обозначения

$f(v)$
плотность распределения по модулю скорости, с/м
$v$
модуль скорости молекулы, м/с
$m$
масса одной молекулы, кг
$k$
постоянная Больцмана, Дж/К
$T$
абсолютная температура, К

Условия применения

  • Газ идеален или достаточно разрежен, а молекулы находятся в тепловом равновесии.
  • Распределение записано для модуля скорости в трехмерном пространстве.
  • Температура задана в кельвинах, масса относится к одной молекуле.

Ограничения

  • Формула не описывает квантовые газы при сильном вырождении и очень низких температурах.
  • Для потоков, плазмы с неравновесными хвостами и ударных волн распределение может отличаться от максвелловского.
  • f(v) является плотностью вероятности: значение в точке не равно доле молекул с точно этой скоростью.

Подробное объяснение

Распределение Максвелла является вероятностным описанием хаотического движения молекул газа. В равновесии направления скоростей равновероятны, а энергия поступательного движения связана с температурой. Экспоненциальный множитель показывает, что большие энергии встречаются все реже, а множитель v^2 учитывает, что в трехмерном пространстве скоростей больше состояний с большим модулем скорости.

График распределения имеет максимум, соответствующий наиболее вероятной скорости. Но средняя скорость и среднеквадратичная скорость имеют другие значения, потому что быстрые молекулы сильнее влияют на средние величины. Это различие важно для давления, диффузии, теплопроводности и скорости химических реакций.

Формула является равновесной. Если газ резко нагревают, сжимают или пропускают через сопло, распределение может временно отличаться. Столкновения постепенно возвращают его к максвелловскому виду, что связано с кинетической теорией и H-теоремой Больцмана.

Как пользоваться формулой

  1. Убедитесь, что газ находится в тепловом равновесии.
  2. Используйте массу одной молекулы, а не молярную массу без деления на N_A.
  3. Подставляйте температуру в кельвинах.
  4. Для доли молекул в диапазоне скоростей интегрируйте f(v) по этому диапазону.
  5. Различайте наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную скорости.

Историческая справка

Джеймс Клерк Максвелл получил распределение скоростей молекул в 1860 году, сделав решающий шаг в статистическом описании газов. До этого температура и давление были макроскопическими величинами, а распределение Максвелла показало, как они возникают из хаотического движения множества частиц. Людвиг Больцман позднее расширил эти идеи и связал распределения с вероятностью микросостояний и энтропией. Максвелловское распределение стало одним из первых успешных результатов статистической физики и до сих пор служит эталоном равновесного классического газа. Оно также стало проверкой атомно-молекулярной картины вещества, поскольку связывало измеряемые свойства газа с невидимым движением молекул и вероятностным описанием.

Историческая линия формулы

Распределение названо в честь Джеймса Клерка Максвелла. Его статистическая интерпретация и обобщения тесно связаны с работами Людвига Больцмана и развитием кинетической теории газов. давления, температуры и теплового равновесия.

Пример

При комнатной температуре молекулы азота имеют не одну скорость, а широкий набор скоростей. Распределение Максвелла показывает, что очень медленные молекулы встречаются редко из-за множителя v^2, очень быстрые тоже редки из-за экспоненты, а максимум приходится на наиболее вероятную скорость. Если температуру увеличить, график сдвигается вправо и становится шире: доля быстрых молекул возрастает. Например, среднеквадратичная скорость азота при 300 К около 517 м/с, но отдельные молекулы могут двигаться заметно медленнее или быстрее. Поэтому в задачах нельзя заменять весь газ одной скоростью без уточнения, какая именно средняя скорость нужна.

Частая ошибка

Частая ошибка - думать, что все молекулы при данной температуре движутся со среднеквадратичной скоростью. Распределение означает разброс скоростей. Вторая ошибка - путать распределение по модулю скорости с распределением по одной компоненте скорости: в формуле для модуля есть множитель 4pi v^2. Еще одна ошибка - считать f(v) долей молекул с точной скоростью v; доля находится интегрированием по интервалу скоростей.

Практика

Задачи с решением

Смысл плотности

Условие. Можно ли сказать, что f(500) равно доле молекул со скоростью ровно 500 м/с?

Решение. Нет. f(v) - плотность распределения. Долю молекул получают как интеграл по конечному интервалу скоростей, например от 490 до 510 м/с.

Ответ. нет, нужна площадь под графиком на интервале

Нагрев газа

Условие. Как изменится распределение Максвелла при увеличении температуры?

Решение. Максимум сместится к большим скоростям, график станет шире, а доля быстрых молекул возрастет.

Ответ. распределение расширится и сдвинется к большим скоростям

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax University Physics, раздел Maxwell-Boltzmann Distribution
  • MIT OpenCourseWare Statistical Physics, Maxwell distribution

Связанные формулы

Физика

Наиболее вероятная скорость молекул

$v_{\text{нв}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}$

Наиболее вероятная скорость молекул идеального газа соответствует максимуму распределения Максвелла по модулю скорости. Она не совпадает со средней скоростью.

Физика

Средняя квадратичная скорость молекул

$v_{\text{с.кв.}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$

Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа связана с температурой и молярной массой и определяет среднюю кинетическую энергию поступательного движения.

Физика

H-теорема Больцмана

$H=\int f\ln f\,d^3v,\qquad \frac{dH}{dt}\le 0$

H-теорема утверждает, что для разреженного газа при молекулярном хаосе функция H не возрастает и система стремится к максвелловскому распределению.