Все формулы РФ

Физика / Молекулярная физика

Наиболее вероятная скорость молекул

Наиболее вероятная скорость молекул идеального газа соответствует максимуму распределения Максвелла по модулю скорости. Она не совпадает со средней скоростью.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭФормулы по физике за 10 классФормулы по физике для ЕГЭМолекулярная физикаКалькуляторЕсть историческая справкаТермодинамика

Формула

$$v_{\text{нв}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}$$
График Максимум распределения
vнв

Максимум распределения не совпадает со всеми средними скоростями.

Обозначения

$v_нв$
наиболее вероятная скорость молекул, м/с
$R$
универсальная газовая постоянная, Дж/(моль·К)
$T$
абсолютная температура газа, К
$M$
молярная масса газа, кг/моль

Условия применения

  • Газ находится в тепловом равновесии и подчиняется распределению Максвелла.
  • Молярная масса M выражена в кг/моль.
  • Температура задана в кельвинах.

Ограничения

  • Формула относится к идеальному классическому газу и не описывает квантовые вырожденные газы.
  • Наиболее вероятная скорость не равна средней скорости и не равна среднеквадратичной скорости.
  • Для смеси газов формулу применяют отдельно к каждому компоненту с его молярной массой.

Подробное объяснение

Распределение Максвелла показывает, что при данной температуре молекулы газа имеют разные скорости. Наиболее вероятная скорость - это значение v, при котором плотность распределения по модулю скорости максимальна. Для идеального газа максимум получается из условия производной f(v) по v равной нулю, что дает v = sqrt(2kT/m), или в молярной записи sqrt(2RT/M).

Зависимость от температуры корневая: при нагревании в четыре раза наиболее вероятная скорость увеличивается только в два раза. Зависимость от молярной массы обратная корневая: легкие молекулы при той же температуре движутся быстрее тяжелых. Поэтому водород и гелий имеют большие характерные скорости, чем кислород или углекислый газ.

Различие между характерными скоростями важно для грамотного решения задач. Наиболее вероятная скорость отвечает максимуму графика, средняя скорость отвечает среднему арифметическому модулей, а среднеквадратичная связана со средней кинетической энергией и давлением газа.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что газ можно считать идеальным и равновесным.
  2. Переведите молярную массу в кг/моль.
  3. Переведите температуру в кельвины.
  4. Подставьте значения в sqrt(2RT/M).
  5. Не смешивайте результат со средней или среднеквадратичной скоростью.

Историческая справка

Наиболее вероятная скорость появилась как следствие распределения Максвелла, полученного в XIX веке. Максвелл впервые показал, что в газе при равновесии существует не одна скорость молекул, а статистическое распределение. Больцман развил эту идею и связал распределение с вероятностью микросостояний. Выделение наиболее вероятной, средней и среднеквадратичной скоростей стало удобным учебным способом показать, что разные физические вопросы требуют разных средних величин. В кинетической теории это помогло связать график распределения с давлением, энергией и транспортными процессами. Поэтому максимум кривой стал самостоятельной расчетной характеристикой газа, полезной при чтении графиков распределения.

Историческая линия формулы

Формула является следствием распределения Максвелла по скоростям и связана с работами Максвелла и Больцмана. Она задает максимум классического равновесного распределения для идеального газа. и отличается от средней и среднеквадратичной скоростей.

Пример

Для азота при T = 300 К молярная масса M = 0,028 кг/моль. Тогда vнв = sqrt(2RT/M) = sqrt(2 * 8,31 * 300 / 0,028). Под корнем получаем примерно 178071, корень равен около 422 м/с. Это скорость, около которой находится максимум распределения по модулю скорости. Средняя и среднеквадратичная скорости будут больше: быстрые молекулы из длинного хвоста распределения сильнее влияют на средние значения. Если взять гелий при той же температуре, скорость будет значительно больше из-за меньшей молярной массы.

Частая ошибка

Частая ошибка - подставлять молярную массу в граммах на моль: 28 г/моль нужно записать как 0,028 кг/моль. Вторая ошибка - использовать формулу sqrt(3RT/M), которая относится к среднеквадратичной скорости, а не к наиболее вероятной. Еще одна ошибка - говорить, что все молекулы движутся с vнв; на самом деле это только максимум распределения.

Практика

Задачи с решением

Азот при 300 К

Условие. M = 0,028 кг/моль, T = 300 К. Найдите наиболее вероятную скорость.

Решение. v = sqrt(2 * 8,31 * 300 / 0,028) ≈ 422 м/с.

Ответ. примерно 422 м/с

Нагревание

Условие. Температуру газа увеличили в 4 раза. Как изменилась наиболее вероятная скорость?

Решение. v пропорциональна sqrt(T), значит скорость увеличилась в sqrt(4) = 2 раза.

Ответ. увеличилась в 2 раза

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax University Physics, раздел Maxwell-Boltzmann Distribution
  • ФИПИ: кодификатор ЕГЭ по физике 2026, молекулярная физика

Связанные формулы

Физика

Распределение Максвелла по скоростям

$f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}v^2 e^{-mv^2/(2kT)}$

Распределение Максвелла задает долю молекул идеального газа, имеющих скорости около заданного значения v при температуре T.

Физика

Средняя квадратичная скорость молекул

$v_{\text{с.кв.}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$

Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа связана с температурой и молярной массой и определяет среднюю кинетическую энергию поступательного движения.