Физика / Молекулярная физика
Среднеквадратичное перемещение при диффузии
Для одномерной диффузии среднеквадратичное перемещение равно √(2Dt); оно растёт как корень времени, тогда как среднее направленное смещение может быть нулевым.
Формула
Одномерная диффузия без дрейфа, D = 2 · 10⁻⁹ м²/с. Разброс растёт как корень времени.
Обозначения
- $x_rms$
- среднеквадратичное перемещение в одном измерении, м
- $D$
- коэффициент диффузии, м²/с
- $t$
- время наблюдения, с
Условия применения
Диффузия одномерна, D постоянно, частицы находятся в статистическом режиме случайного блуждания. Начальное распределение берут локальным, а x_rms понимают как √⟨x²⟩ относительно начала.
Ограничения
В трёх измерениях ⟨r²⟩ = 6Dt, а не 2Dt. При наличии дрейфа среднее положение x̄ = ut, и полный разброс нужно отделять от направленного смещения. На малых временах инерционный режим может предшествовать диффузионному.
Подробное объяснение
Случайные шаги частицы могут направляться влево и вправо, поэтому среднее смещение ⟨x⟩ часто равно нулю. Это не означает, что частица остаётся на месте: средний квадрат смещения растёт как 2Dt, а его корень x_rms показывает типичный масштаб разброса.
Корень времени — ключевая особенность диффузии. Увеличение времени в четыре раза увеличивает x_rms только в два раза. Поэтому дальний перенос медленный по сравнению с движением с постоянной скоростью, где путь пропорционален t.
Если частица имеет направленный дрейф u, положение описывают x≈ut плюс случайная часть. Тогда x_rms относительно начальной точки включает и дрейф, а дисперсия случайной части остаётся 2Dt в простейшей модели. Нельзя выдавать rms за среднюю скорость.
Единицы проверяются: D · t имеет м², после корня получается м. Для плоского или объёмного распространения меняется численный множитель: в двух измерениях ⟨r²⟩ = 4Dt, в трёх — 6Dt.
Формула полезна для оценки времени смешивания на расстоянии L: порядок времени t≈L²/(2D) в одном измерении. Это оценка масштаба, а не точное время достижения каждой точки.
Как пользоваться формулой
- Опишите процесс и укажите постоянные величины.
- Переведите все данные в СИ и температуру в К.
- Выразите неизвестную величину символически.
- Подставьте реальные числа и сохраните промежуточный результат.
- Проверьте знак, размерность и физический предел.
Историческая справка
Количественная теория случайного блуждания развилась из исследований броуновского движения. В 1827 году Роберт Броун наблюдал хаотическое движение частиц, а Эйнштейн в 1905 году вывел связь среднего квадрата смещения с временем и коэффициентом диффузии. Смолуховский независимо развивал близкое статистическое описание. Эксперименты Перрена подтвердили молекулярную природу движения и позволили оценивать постоянную Авогадро. Современная формула x² = 2Dt является одномерным случаем уравнения диффузии и сохраняет различие между нулевым средним смещением и ненулевым разбросом. В практических задачах коэффициент и размерность пространства должны быть указаны явно.
Историческая линия формулы
Связь ⟨x²⟩ = 2Dt обычно связывают с Эйнштейном и Смолуховским в контексте броуновского движения. Это статистический результат для случайного блуждания; в двух и трёх измерениях коэффициент перед Dt меняется. В этой записи важны равновесная среда и точно определённая наблюдаемая величина.
Пример
Коэффициент диффузии молекул в одномерной модели D = 2,0 · 10⁻⁹ м²/с, время t = 50 с. Среднеквадратичное перемещение x_rms = √(2Dt) = √(2 · 2,0 · 10⁻⁹ · 50) = √(2,0 · 10⁻⁷) = 4,472 · 10⁻⁴ м, то есть 0,447 мм. Среднее направленное смещение при отсутствии потока равно нулю, но типичный разброс составляет почти полмиллиметра. Если появляется дрейф 1,0 · 10⁻⁵ м/с, его вклад за 50 с равен 0,500 мм и должен рассматриваться отдельно. В трёхмерной модели средний квадрат полного радиального смещения равен 6Dt, а его корень для этих данных составил бы примерно 0,775 мм. Поэтому при сравнении измерений важно указать, наблюдается одна координата или полное пространственное смещение.
Частая ошибка
Средний квадрат перемещения не равен квадрату среднего перемещения. В одном измерении множитель равен 2, в трёх — 6. При наличии дрейфа нужно отделять случайную дисперсию от направленного смещения. Полученный корень не является длиной извилистой траектории частицы и не задаёт точное время достижения границы.
Практика
Задачи с решением
Медленная диффузия
Условие. D = 5,0 · 10⁻¹⁰ м²/с, t = 200 с.
Решение. x = √(2 · 5 · 10⁻¹⁰ · 200) = √(2 · 10⁻⁷) = 4,472 · 10⁻⁴ м.
Ответ. x_rms≈0,447 мм
Время на масштаб
Условие. D = 1,0 · 10⁻⁹ м²/с, требуемый x_rms = 1,0 мм.
Решение. t = x²/(2D) = 10⁻⁶/(2 · 10⁻⁹) = 500 с.
Ответ. t = 500 с
Дополнительные источники
- https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/12-7-molecular-transport-phenomena-diffusion-osmosis-and-related-processes
- https://ocw.mit.edu/courses/18-366-random-walks-and-diffusion-fall-2006/0a8bdd9c04730a715ad5d54640a3702a_lec14.pdf
Связанные формулы
Физика
Первый закон Фика для диффузионного потока
Первый закон Фика связывает поток вещества J с градиентом концентрации: частицы диффундируют в сторону убывания c, а коэффициент D задаёт интенсивность переноса.
Физика
Диффузия сферической частицы: формула Стокса—Эйнштейна
Формула Стокса—Эйнштейна связывает коэффициент поступательной диффузии частицы с температурой, вязкостью жидкости и гидродинамическим радиусом. Большая частица при прочих равных диффундирует медленнее.
Физика
Средняя квадратичная скорость молекул
Средняя квадратичная скорость vᵣₘₛ = √(3RT/M) характеризует корень из среднего квадрата скоростей молекул идеального газа. Это статистическая скорость в м/с, а не скорость потока газа.