Математика / Графы, логика

Перестановки с повторениями: одинаковые элементы

Число различных упорядоченных записей из заданного набора элементов, среди которых есть одинаковые. Формула делит все перестановки на перестановки внутри каждой группы неразличимых элементов.

Опубликовано: 16 октября 2026 г.Обновлено: 16 октября 2026 г.

Формула

P=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!},\qquad n_1+\cdots+n_r=n

Схема Все шесть анаграмм «МАМА»

Каждая карточка — отдельная запись из двух М и двух А.

Обозначения

$P$: число различных записей, безразмерная величина
$n$: общее число позиций, безразмерная величина
$nᵢ$: число элементов i-го вида, безразмерная величина
$r$: число различных видов, безразмерная величина

Условия применения

Числа nᵢ — неотрицательные целые, сумма которых равна n. Все n элементов используются ровно один раз. Позиции линейного ряда различимы, а элементы одного вида неразличимы. На соседство, начальный символ и допустимые позиции дополнительных запретов нет.

Ограничения

Формула не считает круговые расстановки с отождествлением поворотов. Если одинаковые предметы имеют разные номера, они становятся различимыми и деление на соответствующий факториал исчезает. Запрет ведущего нуля или одинаковых соседних символов требует отдельного учёта.

Подробное объяснение

Сначала мысленно пронумеруем каждый элемент, даже одинаковые. Тогда получится n! перестановок: первый предмет можно поставить n способами, второй — n−1 способом и так далее. Этот временный подсчёт различает объекты, которые в исходной задаче должны выглядеть одинаково.

Возьмём одну видимую запись. Номера элементов первого вида можно переставить n₁! способами, не меняя её внешнего вида. Для второго вида это даёт n₂! вариантов. Независимые перестановки номеров перемножаются, поэтому каждая видимая запись посчитана ровно n₁!n₂!…nᵣ! раз.

Деление на это постоянное число повторов даёт искомый ответ. В знаменателе нужны факториалы отдельных кратностей, а не факториал числа видов. Однократный символ вносит множитель 1!=1; отсутствующий вид можно не записывать, так как 0!=1.

Другой вывод последовательно выбирает позиции: сначала n₁ мест из n для первого вида, затем n₂ из оставшихся и так далее. Произведение сочетаний сокращается до той же дроби. Этот способ особенно удобен, когда нужно дополнительно закрепить конкретные позиции.

При всех различных элементах знаменатель равен единице и ответ становится n!. Если весь набор состоит из одного вида, числитель и знаменатель совпадают: существует только одна запись. Эти крайние случаи помогают обнаружить неверно составленные кратности.

Как пользоваться формулой

Выпишите все различные виды элементов и сосчитайте кратность каждого; одинаковые буквы не нумеруйте.
Сложите кратности и проверьте, что их сумма совпадает с числом позиций и длиной исходного набора.
Запишите n! в числителе, а в знаменателе перемножьте факториалы всех кратностей больше единицы.
Сократите факториалы до умножения небольших чисел; итог должен быть целым числом различных записей.

Историческая справка

Перестановки с повторениями входят в общую теорию мультиномиальных коэффициентов. Её современная запись связывает выбор позиций, разложение степени суммы и подсчёт последовательностей с фиксированными кратностями. В справочной традиции XX века эти задачи систематически рассматриваются рядом с биномиальными коэффициентами; книга Луи Комте Advanced Combinatorics вышла в английском издании в 1974 году и указана среди источников соответствующей главы NIST DLMF. В современном электронном справочнике коэффициент записан через факториалы и интерпретирован как число путей или распределений. Такая история описывает развитие языка и систематизацию метода, а не устанавливает единственного автора элементарного правила деления на повторы. Школьная задача об анаграммах — одна из наглядных интерпретаций той же общей конструкции.

Историческая линия формулы

Формулу корректно называть мультиномиальным коэффициентом или числом перестановок мультимножества. Единственного автора правила для повторяющихся букв здесь не устанавливаем: оно следует из общего подсчёта по классам равных перестановок и представлено в современной комбинаторной литературе.

Пример

Сколько различных записей можно составить из всех букв слова «МАМА», если не требовать осмысленного слова? Всего n=4 позиции, буква М встречается дважды, А — тоже дважды. Поэтому P=4!/(2!·2!)=24/4=6. Перечислим записи для независимой проверки: ММАА, МАМА, МААМ, АММА, АМАМ, ААММ. Их действительно шесть; перестановка двух букв М внутри одной записи не меняет результат. Можно получить тот же ответ выбором двух мест для М: C(4,2)=6, а оставшиеся места автоматически занимают А. Единица ответа — число записей; это не вероятность и не количество различных букв.

Частая ошибка

Не делите на 2! только один раз, если повторяются два вида букв: у каждого вида свой множитель. Не заменяйте знаменатель на r!: число видов не равно их кратностям. Не отбрасывайте бессмысленные анаграммы без отдельного условия о словаре. Не переносите результат на круг: повороты ряда в этой модели различны.

Практика

Задачи с решением

Три одинаковых символа

Условие. Сколько записей дают буквы А, А, А, Б, Б?

Решение. Имеем n=5, кратности 3 и 2. P=5!/(3!·2!)=120/12=10.

Ответ. 10 записей

Три вида букв

Условие. Сколько анаграмм имеет слово «БАНАН» без словарного ограничения?

Решение. Б — 1, А — 2, Н — 2. P=5!/(1!·2!·2!)=120/4=30.

Ответ. 30 записей

Дополнительные источники

https://dlmf.nist.gov/26.4
https://discrete.openmathbooks.org/more/mdm/sec_basic-quotient.html

Связанные формулы

Математика

Число перестановок без повторений

$P_n=n!$

Формула описывает прием «перестановки разных объектов» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.

Математика

Число сочетаний без повторений

$C_n^k=\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Формула описывает прием «неупорядоченный выбор» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.

Математика

Правило произведения в комбинаторике

$N=m_1m_2\cdots m_k$

Формула описывает прием «умножение последовательных шагов» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.