Математика / Пределы, ряды

Дивергенция в цилиндрических координатах

Формула дивергенции в цилиндрических координатах учитывает изменение радиального, углового и осевого компонентов поля, включая геометрический множитель r у радиальной части.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Формула

\nabla\cdot\mathbf F=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rF_r)+\frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial F_z}{\partial z}

Обозначения

$\mathbf F=(F_r,F_\theta,F_z)$: векторное поле в цилиндрическом базисе, единицы потока или поля
$r$: расстояние от оси z, единицы длины
$\theta$: угловая координата, радианы
$z$: осевая координата, единицы длины

Условия применения

Поле задано в цилиндрических компонентах F_r, F_theta, F_z.
Рассматриваемая точка имеет r>0, если не оговорена специальная регулярность на оси.
Компоненты поля дифференцируемы по соответствующим координатам.
Используется ортонормированный цилиндрический базис с масштабными коэффициентами 1, r, 1.

Ограничения

На оси r=0 формула содержит деление на r и требует предельного анализа регулярности поля.
Нельзя подставлять декартовы компоненты вместо цилиндрических F_r, F_theta, F_z.
Угловая координата измеряется в радианах; масштаб по theta равен r.
Для криволинейных систем другого типа нужны свои масштабные коэффициенты.

Подробное объяснение

Дивергенция измеряет локальную интенсивность источника поля: насколько поток выходит из малого объема по сравнению с объемом. В цилиндрических координатах малый объем имеет размер r dr dθ dz, поэтому радиальная часть получает дополнительный множитель r.

Член (1/r)∂(rF_r)/∂r отражает, что боковая поверхность цилиндрического слоя растет с радиусом. Даже если радиальная компонента постоянна, поток через внешнюю и внутреннюю боковые поверхности отличается из-за разных площадей, и это влияет на дивергенцию.

Угловая часть содержит коэффициент 1/r, потому что изменение по θ происходит вдоль дуги длины r dθ. Осевая часть выглядит как обычная производная по z, поскольку масштаб вдоль оси не меняется.

Формула особенно упрощается при осевой симметрии. Если поле не зависит от θ и не имеет угловой компоненты, остается только радиальная и осевая производные. Это часто встречается в задачах о трубах, цилиндрических проводниках и вращательно-симметричных распределениях.

На оси r=0 нужно быть осторожным. Деление на r не обязательно означает физическую бесконечность, но регулярность должна обеспечивать конечный предел. Например, гладкое радиальное поле обычно имеет F_r порядка r около оси.

Для записи «Дивергенция в цилиндрических координатах» особенно важно сохранять исходные условия: именно они показывают, когда преобразование или вывод остаются равносильными и когда похожая по виду операция уже требует другого правила.

Как пользоваться формулой

Убедитесь, что компоненты поля записаны именно в цилиндрическом базисе.
Вычислите произведение rF_r перед дифференцированием по r.
Добавьте угловую часть (1/r)∂F_theta/∂theta, если поле зависит от угла.
Добавьте обычную производную осевой компоненты по z.
Проверьте область r>0 или отдельно исследуйте поведение на оси.
При осевой симметрии сразу занулите производные по theta только после проверки зависимости.

Историческая справка

Формулы векторного анализа в криволинейных координатах сформировались в XIX веке вместе с развитием математической физики. Задачи гидродинамики, электродинамики и теории потенциала требовали записывать градиент, дивергенцию и ротор в координатах, согласованных с симметрией области.

Современная векторная нотация связана с работами Гиббса и Хевисайда, которые упростили кватернионные и координатные записи для нужд физики. Цилиндрические координаты стали естественным языком для осесимметричных задач, а масштабные коэффициенты дали общий способ выводить операторы в ортогональных координатах.

В курсах анализа формула обычно появляется после теоремы Гаусса-Остроградского: дивергенция как плотность потока должна учитывать форму малого координатного объема. Поэтому множитель r в объеме цилиндрической ячейки является не технической поправкой, а геометрическим источником всей записи. В учебной традиции эта запись закрепилась потому, что она сокращает длинное рассуждение до проверяемого правила: сначала формулируются условия, затем выполняется преобразование, а результат можно проверить обратной подстановкой или геометрической интерпретацией.

Историческая линия формулы

У конкретной координатной формулы нет единственного автора. Она принадлежит общей традиции векторного анализа и математической физики XIX века. Современная запись опирается на нотацию Гиббса-Хевисайда и на геометрический смысл дивергенции через поток. Поэтому в источниках обычно указывают учебную или научную традицию, а не единственного автора короткой записи.

Пример

Задача. Найти дивергенцию поля F=(F_r,F_theta,F_z)=(r z, 0, z^2) в цилиндрических координатах при r>0. Дано: F_r=rz, F_theta=0, F_z=z^2. Подставляем в формулу: div F=(1/r)∂(rF_r)/∂r+(1/r)∂F_theta/∂θ+∂F_z/∂z. Так как rF_r=r·rz=r^2z, то ∂(r^2z)/∂r=2rz, и первая часть равна 2z. Угловая часть равна 0. Осевая часть: ∂z^2/∂z=2z. Итого div F=4z. Ответ: ∇·F=4z. Проверка: размерность обеих ненулевых частей соответствует компоненте поля, деленной на длину. При z=0 поле не создает локального источника по этой формуле, что согласуется с результатом 4z. Дополнительная проверка: сравниваем результат с исходной записью при допустимых значениях переменных или на граничном случае из условия. Если обе записи дают одно и то же значение и не нарушают ограничения, преобразование выполнено согласованно.

Частая ошибка

Самая частая ошибка — писать ∂F_r/∂r вместо (1/r)∂(rF_r)/∂r и терять геометрию расширяющихся цилиндров. Вторая ошибка — использовать декартовы компоненты поля, хотя формула требует цилиндрические. Часто забывают множитель 1/r перед угловой производной или считают θ безразмерной координатой с единичным масштабом. На оси r=0 иногда механически подставляют ноль и получают деление на ноль вместо анализа предела.

Практика

Задачи с решением

Радиальное поле

Условие. F_r=r^2, F_theta=0, F_z=0. Найти div F.

Решение. div F=(1/r)∂(r·r^2)/∂r=(1/r)∂(r^3)/∂r=3r.

Ответ. 3r

Осевая скорость

Условие. F=(0,0,z^2). Найти div F.

Решение. Первые две части равны нулю, третья равна ∂z^2/∂z=2z.

Ответ. 2z

Дополнительные источники

Apostol, Calculus, Vol. 2, vector analysis
Thomas' Calculus, vector fields in cylindrical coordinates
Zorich, Mathematical Analysis II, vector analysis and curvilinear coordinates
Morse and Feshbach, Methods of Theoretical Physics, vector operators in curvilinear coordinates

Связанные формулы

Математика

Дивергенция векторного поля

$\nabla\cdot\mathbf F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$

Дивергенция измеряет локальную плотность источников и стоков поля: насколько в этой точке поле «вытекает» или «втягивается» из окрестности. Она служит точной связкой между локальной производной поля и глобальным потоком через границу.

Математика

Теорема Гаусса-Остроградского

$\iiint_V (\nabla\cdot\mathbf F)\,dV=\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$

Теорема Гаусса-Остроградского переводит объемный интеграл дивергенции в поток через границу замкнутой области. Это ключевая связь локальных источников и глобального выхода поля.

Математика

Ротор векторного поля

$\nabla\times\mathbf F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)$

Ротор описывает локальную циркуляцию (вихревость) поля. Он показывает, в каком направлении и с какой интенсивностью маленький элемент среды «крутится» под действием поля в окрестности точки.

Математика

Цилиндрические координаты

$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz$

Цилиндрические координаты расширяют полярные координаты на пространство и удобны для тел с осевой симметрией. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.

Математика

Сферические координаты

$x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,\quad dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$

Сферические координаты лучше всего подходят для шаров, сферических слоев и тел с центральной симметрией. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.