Инженерия / Теплопередача

Число Грасгофа: плавучесть и вязкое сопротивление

Число Грасгофа характеризует температурно вызванное движение среды по сравнению с вязким действием. Оно используется в свободной конвекции, где скорость потока заранее не задана.

Опубликовано: 6 ноября 2026 г.Обновлено: 6 ноября 2026 г.

Формула

\mathrm{Gr}=\frac{g\beta|\Delta T|L^3}{\nu^2}

Схема Квадрат вязкости в знаменателе

При одинаковом gβΔTL³:ν=10⁻⁵ и 2·10⁻⁵ м²/с дают Gr=3 и 0,75 миллиона.

Обозначения

$g$: ускорение тяжести, м/с²
$β$: коэффициент объёмного расширения, К⁻¹
$ΔT$: температурная разность поверхности и среды, К
$L$: характерная длина конфигурации, м
$ν$: кинематическая вязкость, м²/с

Условия применения

Рассматривается свободная температурная конвекция при заданных g,β,ν и выбранном масштабе L. Линейная оценка плотностного контраста через βΔT должна быть допустима. Используется модуль перепада, а его пространственная ориентация указывается отдельно.

Ограничения

Большой Gr не является универсальным доказательством турбулентности для любой геометрии. Если плавучесть зависит от концентрации или влажности, одной температурной β может быть недостаточно. Критерий не содержит температуропроводность и потому не заменяет Ra при тепловом подобии.

Подробное объяснение

В вынужденном потоке скорость задаётся внешним устройством и входит в число Рейнольдса. В свободной конвекции движение возникает из-за плотностного контраста, поэтому заранее известной скорости может не быть. Число Грасгофа использует плавучесть и геометрический масштаб вместо внешней скорости.

В приближении малого температурного изменения относительный плотностный контраст имеет масштаб βΔT. Ускорение плавучести порядка gβΔT вместе с длиной L даёт характерную скорость√(gβΔTL). Квадрат соответствующего числа Рейнольдса и приводит к Gr.

Кинематическая вязкость стоит в квадрате знаменателя. Если ν увеличить вдвое при прочих равных, Gr уменьшится в 4 раза. Это выражает усиление диффузии импульса, но не определяет само распределение температур. Для последнего важен ещё Pr=ν/α.

Размер L входит в кубе. В опытах на разных масштабах похожий материал и одинаковый перепад температур не обеспечивают одинаковый Gr. Чтобы сравнивать конфигурации, нужно пересчитывать весь критерий и использовать одинаковое определение L.

Связь с Ra даёт независимую арифметическую проверку: GrPr=gβΔTL³/(να). Если в вычислениях вместо ν использована динамическая μ, потребуется плотность и другой вид записи. Смешение μ и ν — частая причина неверной размерности.

Как пользоваться формулой

Установите свободную конвекцию и источник плотностного контраста; выберите L по рассматриваемой геометрии поверхности или слоя.
Возьмите кинематическую вязкость ν в м²/с, а не динамическую μ; при необходимости сначала вычислите ν=μ/ρ.
Найдите положительный масштаб gβ|ΔT|L³ и разделите на квадрат ν, контролируя сокращение м⁴/с².
Укажите ориентацию нагрева и проверьте связь Ra=GrPr, если известна температуропроводность; режим оценивайте по подходящей конфигурации.

Историческая справка

Число Грасгофа входит в классическую систему критериев подобия потоков с плавучестью. Его назначение связано с ситуацией, когда движение создаётся самой разностью плотностей, а скорость не задаётся заранее вентилятором или насосом.

Современные расчётные руководства рассматривают его рядом с Re и Ra, но подчёркивают различие источника движения. Официальная документация COMSOL отдельно обсуждает число Грасгофа и обобщение плотностного контраста, включая случаи, когда на плотность влияет не только температура. Такая линия развития объясняет, почему короткая температурная запись является модельным приближением. Имя критерия сохраняется, но параметры и допустимость βΔT должны соответствовать конкретному физическому процессу.

Историческая линия формулы

Критерий назван по Грасгофу и используется в теории свободной конвекции. Здесь приведена температурная форма с кинематической вязкостью. Она не должна подменять более общий плотностный контраст в среде с существенной зависимостью плотности от состава или влажности.

Пример

Для учебного случая g=10 м/с²,β=0,003 К⁻¹,ΔT=10 К,L=0,10 м иν=2·10⁻⁵ м²/с. Числитель gβΔTL³=0,0003 м⁴/с², квадрат вязкостиν²=4·10⁻¹⁰ м⁴/с². Получаем Gr=0,0003/(4·10⁻¹⁰)=7,5·10⁵. Ответ безразмерен. Если α=10⁻⁵ м²/с, то Pr=ν/α=2 и Ra=1,5·10⁶. Проверка влияния вязкости: при ν=10⁻⁵ и прочих неизменных параметрах Gr был бы 3·10⁶, в 4 раза больше. Здесь изменилось вязкое действие, а не заданный температурный перепад. Ни одно из этих чисел без геометрии не служит универсальным порогом перехода к турбулентности.

Частая ошибка

Не используйте динамическую вязкость μ в знаменателе ν² без учёта плотности. Не забывайте квадрат вязкости и куб длины. Не переносите пороги режимов между разными геометриями. Не считайте одинаковые Gr достаточными для полного теплового подобия при различающихся Pr.

Практика

Задачи с решением

Вязкость вдвое

Условие. При ν₁=10⁻⁵ м²/с Gr₁=3·10⁶. Найдите Gr₂ приν₂=2ν₁.

Решение. Gr обратно пропорциональноν², поэтому Gr₂=Gr₁/4.

Ответ. 7,5·10⁵.

Восстановление по Ra

Условие. Ra=1,5·10⁶,Pr=2. Найдите Gr.

Решение. Gr=Ra/Pr=1,5·10⁶/2.

Ответ. 7,5·10⁵.

Дополнительные источники

https://doc.comsol.com/6.3/doc/com.comsol.help.heat/heat_ug_theory.07.094.html
https://doc.comsol.com/6.3/doc/com.comsol.help.heat/heat_ug_theory.07.095.html

Связанные формулы

Инженерия

Число Рэлея: свободная конвекция и тепловая диффузия

$\mathrm{Ra}=\frac{g\beta|\Delta T|L^3}{\nu\alpha}=\mathrm{Gr}\,\mathrm{Pr}$

Число Рэлея сопоставляет температурную подъёмную силу с вязкой и тепловой диффузией. Оно равно произведению числа Грасгофа и Прандтля при согласованном выборе масштаба длины.

Инженерия

Число Прандтля: диффузия импульса и тепла

$\mathrm{Pr}=\frac{\nu}{\alpha}=\frac{\mu c_p}{k},\qquad \alpha=\frac{k}{\rho c_p}$

Число Прандтля сравнивает кинематическую вязкость с температуропроводностью. Оно показывает соотношение молекулярного переноса импульса и тепла и при заданном состоянии среды не зависит от скорости или длины объекта.

Инженерия

Число Рейнольдса для потока в трубе

$Re = \frac{\rho v D_h}{\mu} = \frac{v D_h}{\nu}$

Число Рейнольдса для потока в трубе: формула Re = \frac{\rho v D_h}{\mu} = \frac{v D_h}{\nu} помогает оценить расход, скорость, напор или потери в потоке. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.