Все формулы РФ

Инженерия / Теплопередача

Число Прандтля: диффузия импульса и тепла

Число Прандтля сравнивает кинематическую вязкость с температуропроводностью. Оно показывает соотношение молекулярного переноса импульса и тепла и при заданном состоянии среды не зависит от скорости или длины объекта.

Опубликовано: Обновлено:

Инженерные измеренияСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаТеплопередача

Формула

$$\mathrm{Pr}=\frac{\nu}{\alpha}=\frac{\mu c_p}{k},\qquad \alpha=\frac{k}{\rho c_p}$$
Схема Времена диффузии при L = 0,01 м
Времена диффузии при L = 0,01 мВремена диффузии при L = 0,01 мимпульс100 степло700 сотношениеPr = 7

Времена диффузии при L = 0,01 м

Обозначения

$\nu$
кинематическая вязкость, м²/с
$\alpha$
температуропроводность, м²/с
$\mu$
динамическая вязкость, Па·с
$c_p$
удельная теплоёмкость при постоянном давлении, Дж/(кг·К)
$k$
теплопроводность, Вт/(м·К)
$\rho$
плотность, кг/м³

Условия применения

Свойства относятся к одной среде, температуре, давлению и фазе. Используется молекулярное число Pr, а не турбулентное. Формула через μcₚ/k предполагает согласованные определения теплоёмкости, теплопроводности и плотности; в неоднородной среде свойства могут быть локальными.

Ограничения

Одно Pr не определяет коэффициент теплоотдачи и не задаёт ламинарность потока. Связь толщин теплового и скоростного слоёв зависит от задачи. При сильной зависимости свойств от температуры нельзя без обоснования заменить всё поле одним табличным значением.

Подробное объяснение

Импульс и тепло распространяются в неподвижной относительно среднего потока среде разными молекулярными механизмами. Их характерные коэффициенты — кинематическая вязкость ν и температуропроводность α. Оба имеют единицу м²/с, поэтому их отношение безразмерно.

На длине L время вязкого выравнивания оценивают как L²/ν, а теплового — как L²/α. Отношение второго времени к первому равно ν/α. При Pr больше единицы тепловое выравнивание на той же длине медленнее вязкого; при Pr меньше единицы — быстрее.

Длина сокращается при сравнении этих времён. Поэтому изменение диаметра трубы или скорости при неизменных свойствах не меняет молекулярное Pr. Оно меняет другие критерии, например Re или Pe. Температура, напротив, способна изменить Pr через вязкость и теплопроводность.

Подстановка ν = μ/ρ и α = k/(ρcₚ) сокращает плотность и даёт вторую форму μcₚ/k. Это полезная независимая проверка исходных данных: обе записи должны давать одно число, если свойства взяты при одном состоянии.

В расчёте конвекции Pr объединяют с Re и подходящей корреляцией для Nu. Критерий описывает относительную скорость двух диффузий, но сам по себе не содержит ни формы поверхности, ни перепада температур. Получить тепловой поток только по нему нельзя.

Как пользоваться формулой

  1. Соберите вязкость, теплоёмкость и теплопроводность при одной температуре; укажите, что это свойства выбранной среды.
  2. Переведите динамическую вязкость в Па·с и теплоёмкость в Дж/(кг·К), особенно если исходник использует мПа·с и кДж.
  3. Вычислите μcₚ/k, затем по плотности найдите ν и α и проверьте совпадение отношения этих двух коэффициентов.
  4. Интерпретируйте число через времена диффузии; коэффициент теплоотдачи рассчитывайте только по подходящей задаче корреляции.

Историческая справка

Критерий связан с развитием теории пограничного слоя и сравнением переноса импульса с переносом тепла в XX веке. В учебных материалах MIT название Прандтля сопровождает отношение μcₚ/k и обсуждение аналогии Рейнольдса. Это показывает место числа в истории идеи: вязкое трение и теплопередачу стало удобно сопоставлять через одинаковую структуру уравнений, сохраняя различие их коэффициентов. В материалах NASA MEIT 2004 года Pr уже используется вместе с другими безразмерными параметрами при анализе влияния гравитации на физические системы. Современное применение разделяет молекулярное свойство среды и модель турбулентного переноса. Поэтому традиционное имя не означает, что каждое современное замыкание теплового потока или каждая эмпирическая корреляция принадлежит одному исследователю.

Историческая линия формулы

Используется традиционное имя Прандтля для отношения молекулярных диффузий импульса и тепла. Источники подтверждают связь с теорией пограничного слоя; отдельная дата первого появления именно этой записи здесь не устанавливается и авторство всех корреляций не объединяется.

Пример

Для условной жидкости заданы μ = 0,001 Па·с, ρ = 1000 кг/м³, cₚ = 4200 Дж/(кг·К), k = 0,6 Вт/(м·К). Это исходные данные примера, а не таблица свойств при определённой температуре. Получаем Pr = 0,001·4200/0,6 = 7. Независимо: ν = 10⁻⁶ м²/с, α = 0,6/(1000·4200) ≈ 1,428571·10⁻⁷ м²/с, и ν/α = 7. На длине L = 0,01 м вязкое время составляет 0,0001/10⁻⁶ = 100 с, тепловое — 700 с. Их отношение тоже 7. Ответ: тепловое выравнивание на этом масштабе медленнее вязкого. При другой длине оба времени изменятся пропорционально L², но Pr останется тем же.

Частая ошибка

Не подставляйте динамическую вязкость вместо кинематической в отношение ν/α. Не меняйте Pr при одном лишь изменении скорости или размера. Не смешивайте теплоёмкость в кДж с теплопроводностью в ваттах. Не считайте Pr коэффициентом теплоотдачи. Не заменяйте молекулярные коэффициенты турбулентными без изменения постановки.

Практика

Задачи с решением

Более вязкая среда

Условие. При μ = 0,02 Па·с, cₚ = 2000 Дж/(кг·К), k = 0,2 Вт/(м·К) найдите Pr.

Решение. Pr = μcₚ/k = 0,02·2000/0,2 = 200. Единицы Па·с·Дж/(кг·К), делённые на Вт/(м·К), сокращаются до единицы.

Ответ. Pr = 200.

Два коэффициента диффузии

Условие. Даны ν = 1,5·10⁻⁵ м²/с и α = 2,1·10⁻⁵ м²/с. Найдите Pr и эффект удвоения скорости.

Решение. Pr = 1,5/2,1 = 5/7 ≈ 0,714286. Скорости в определении нет, поэтому при тех же свойствах удвоение скорости Pr не меняет.

Ответ. Pr ≈ 0,714286; после изменения скорости то же число.

Дополнительные источники

  • https://web.mit.edu/16.unified/www/SPRING/propulsion/notes/node122.html
  • https://gipoc.grc.nasa.gov/pims/MMAP/PIMS_ORIG/MEIT/MEIT_pdfs/meit2004/Section_5.pdf

Связанные формулы

Инженерия

Тепловое число Пекле: перенос потоком и теплопроводность

$\mathrm{Pe}_T=\frac{UL}{\alpha}=\mathrm{Re}_L\mathrm{Pr},\qquad \mathrm{Re}_L=\frac{UL}{\nu}$

Тепловое число Пекле сравнивает перенос температуры движущейся средой с тепловой диффузией на длине L. Большое значение указывает на быстрый перенос потоком относительно выравнивания температуры на этом масштабе.

Инженерия

Число Шмидта: вязкость и диффузия компонента

$\mathrm{Sc}=\frac{\nu}{D}=\frac{\mu}{\rho D}$

Число Шмидта сравнивает молекулярную диффузию импульса и выбранного компонента смеси. Оно зависит от свойств среды и пары веществ, а не от скорости или длины потока при неизменном состоянии.