Все формулы РФ

Инженерия / Теплопередача

Тепловое число Пекле: перенос потоком и теплопроводность

Тепловое число Пекле сравнивает перенос температуры движущейся средой с тепловой диффузией на длине L. Большое значение указывает на быстрый перенос потоком относительно выравнивания температуры на этом масштабе.

Опубликовано: Обновлено:

Инженерные измеренияСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаТеплопередача

Формула

$$\mathrm{Pe}_T=\frac{UL}{\alpha}=\mathrm{Re}_L\mathrm{Pr},\qquad \mathrm{Re}_L=\frac{UL}{\nu}$$
Схема Тепловой перенос на L = 0,02 м
Тепловой перенос на L = 0,02 мТепловой перенос на L = 0,02 мпотоком0,2 сдиффузией2857,143 сотношениеPe = 14285,714

Тепловой перенос на L = 0,02 м

Обозначения

$U$
характерная скорость потока, м/с
$L$
характерная длина переноса, м
$\alpha$
температуропроводность, м²/с
$\nu$
кинематическая вязкость, м²/с
$\mathrm{Pe}_T$
тепловое число Пекле, 1
$\mathrm{Re}_L,\mathrm{Pr}$
критерии на согласованных свойствах и длине, 1

Условия применения

Нужно явно задать скорость, направление и характерную длину, а также температуропроводность при выбранном состоянии среды. Равенство Pe = Re·Pr использует одну и ту же скорость, длину и молекулярную вязкость; при разных масштабах произведение несогласованно.

Ограничения

Большое Pe на длине всего канала не исключает теплопроводность поперёк тонкого слоя у стенки. Тепловое число нельзя смешивать с массовым UL/D. Оно не заменяет Re при оценке течения и не является универсальным порогом турбулентности или критерием численной устойчивости сетки.

Подробное объяснение

Движение переносит уже имеющуюся температуру вместе со средой, а теплопроводность сглаживает её пространственные различия. На масштабе L первое время оценивают как L/U, второе — как L²/α. Их отношение, диффузионное время к времени переноса, равно UL/α.

При Pe намного больше единицы частица успевает пройти выбранную длину быстрее, чем теплопроводность выровняет температуру на той же длине. При малом Pe тепловая диффузия сравнительно быстра. Это оценка конкурирующих механизмов, а не готовое температурное поле.

Длина является частью определения. В длинной узкой трубе продольное Pe может быть велико, а поперечное диффузионное время по радиусу — достаточно мало. Вывод о пренебрежении теплопроводностью следует привязывать к направлению градиента и граничным условиям.

Умножение Re = UL/ν на Pr = ν/α сокращает вязкость и возвращает Pe. Это удобная проверка расчёта. Она также показывает, почему одинаковый режим по Re ещё не означает одинаковое тепловое поведение двух жидкостей с разными Pr.

В программных моделях встречается и сеточное число Пекле, где L заменено размером ячейки, иногда с дополнительным коэффициентом в определении. Его нельзя без уточнения сравнивать с физическим Pe по размеру устройства. Здесь используется физическая длина задачи.

Как пользоваться формулой

  1. Выберите направление переноса и подпишите длину L; не подменяйте длину канала диаметром без изменения смысла задачи.
  2. Приведите U, L и α к единицам м/с, м и м²/с, затем вычислите произведение UL и отношение к температуропроводности.
  3. Независимо сравните времена L/U и L²/α; при наличии ν дополнительно проверьте произведение Re на Pr.
  4. Свяжите вывод с выбранным направлением и граничными условиями; отдельно оцените теплопроводность на других важных длинах.

Историческая справка

Число Пекле принадлежит традиции безразмерного описания уравнений конвекции и диффузии. В отличие от одного коэффициента среды оно соединяет свойства вещества с размером и скоростью процесса. В современной тепловой постановке его удобно узнавать по произведению Re·Pr: вязкость из этой комбинации исчезает, оставляя соперничество переноса и теплопроводности. Исследование, опубликованное в Physics of Fluids в 2006 году и сохранённое на сайте MIT, использует эту комбинацию при анализе теплового переноса в режиме скольжения. Документация вычислительных моделей INL также различает температурную и массовую диффузию. Историческое имя закрепилось за семейством масштабных отношений; конкретное определение требует указания переносимой величины и длины, а не только одной фамилии.

Историческая линия формулы

Использовано традиционное имя Пекле в тепловом определении UL/α. Персональное первенство для всех форм конвективно-диффузионных критериев не утверждается. Массовый вариант с D и сеточные определения относятся к близким, но отдельно задаваемым величинам.

Пример

Пусть U = 0,1 м/с, L = 0,02 м и α = 1,4·10⁻⁷ м²/с. Тогда UL = 0,002 м²/с, а Pe = 0,002/(1,4·10⁻⁷) ≈ 14285,714. Проверим через времена: L/U = 0,2 с; L²/α = 0,0004/(1,4·10⁻⁷) ≈ 2857,143 с. Отношение 2857,143/0,2 даёт то же Pe. Если ν = 10⁻⁶ м²/с, то Re = 2000, Pr ≈ 7,142857, произведение снова равно 14285,714. На длине 2 см перенос потоком значительно быстрее теплового выравнивания. Это не означает отсутствия теплопроводности у стенки на гораздо меньшем поперечном масштабе и ничего само по себе не доказывает о турбулентности.

Частая ошибка

Не сравнивайте тепловое UL/α с массовым UL/D, считая их одним числом. Не перемножайте Re и Pr, рассчитанные при разных свойствах. Не переносите продольный вывод на поперечный слой. Не принимайте Pe за критерий ламинарности. Не смешивайте физический размер устройства с размером вычислительной ячейки.

Практика

Задачи с решением

Медленный микропоток

Условие. При U = 10⁻⁴ м/с, L = 10⁻⁵ м, α = 10⁻⁷ м²/с найдите Pe.

Решение. UL = 10⁻⁹ м²/с, поэтому Pe = 10⁻⁹/10⁻⁷ = 0,01. Время переноса 0,1 с, тепловое время 0,001 с; их отношение тоже 0,01.

Ответ. Pe = 0,01; диффузия на этом масштабе быстрее.

Нужная скорость

Условие. Требуется Pe = 20 при L = 0,01 м и α = 2·10⁻⁷ м²/с. Найдите U.

Решение. Переносим множители: U = Pe·α/L = 20·2·10⁻⁷/0,01 = 4·10⁻⁴ м/с. Повторная подстановка возвращает 20.

Ответ. U = 0,0004 м/с.

Дополнительные источники

  • https://web.mit.edu/ngh/www/DFD05paper.pdf
  • https://mooseframework.inl.gov/source/auxkernels/PecletNumberFunctorAux.html

Связанные формулы

Инженерия

Число Прандтля: диффузия импульса и тепла

$\mathrm{Pr}=\frac{\nu}{\alpha}=\frac{\mu c_p}{k},\qquad \alpha=\frac{k}{\rho c_p}$

Число Прандтля сравнивает кинематическую вязкость с температуропроводностью. Оно показывает соотношение молекулярного переноса импульса и тепла и при заданном состоянии среды не зависит от скорости или длины объекта.

Инженерия

Закон Фурье для теплопроводности

$q=-\lambda A\frac{dT}{dx}$

Закон Фурье для теплопроводности показывает, как получить расчетную величину из проверяемых исходных данных. Формула полезна для предварительного инженерного расчета, потому что сразу связывает результат с единицами измерения и областью применимости.

Инженерия

Число Рейнольдса в круглой трубе

$Re=\frac{\rho vD}{\mu}$

Число Рейнольдса в круглой трубе: формула Re=\frac{\rho vD}{\mu} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется определить режим течения в трубе. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.