Все формулы РФ

Инженерия / Теплопередача

Число Рэлея: свободная конвекция и тепловая диффузия

Число Рэлея сопоставляет температурную подъёмную силу с вязкой и тепловой диффузией. Оно равно произведению числа Грасгофа и Прандтля при согласованном выборе масштаба длины.

Опубликовано: Обновлено:

Ручной расчетСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаДиагностика условий

Формула

$$\mathrm{Ra}=\frac{g\beta|\Delta T|L^3}{\nu\alpha}=\mathrm{Gr}\,\mathrm{Pr}$$
Схема Кубическая зависимость от длины
02530,10 м240,20 м

Для одинаковой учебной среды размеры 0,10 и 0,20 м дают Ra=3 и 24 миллиона.

Обозначения

$g$
ускорение тяжести, м/с²
$β$
коэффициент объёмного теплового расширения, К⁻¹
$ΔT$
разность температур поверхности и среды, К
$L$
характерный размер выбранной геометрии, м
$ν$
кинематическая вязкость, м²/с
$α$
температуропроводность среды, м²/с

Условия применения

Температурная разность создаёт плавучесть, а свойства среды заданы при температуре, согласованной с выбранной корреляцией. Используется приближение линейного изменения плотности через β. Модуль ΔT задаёт положительный критерий; устойчивость дополнительно зависит от направления нагрева и силы тяжести.

Ограничения

Универсального критического значения для всех геометрий и ориентаций нет. При сильном изменении свойств простая постоянная β может быть недостаточной. Малый Ra не означает автоматически отсутствие любого потока от внешнего вентилятора: вынужденная конвекция описывается другой постановкой.

Подробное объяснение

Температурная разность меняет плотность и создаёт подъёмную силу. Вязкость сопротивляется движению, а тепловая диффузия сглаживает температурные неоднородности. Комбинация gβ|ΔT|L³/(να) объединяет эти три механизма в безразмерный критерий.

Связь Ra=GrPr следует из Gr=gβ|ΔT|L³/ν² и Pr=ν/α. Умножение сокращает одну степень ν в знаменателе. Поэтому одинаковый Gr при разных Pr не даёт одинаковый тепловой режим: скорость выравнивания температуры тоже важна.

Размер L входит в третьей степени. Удвоение линейного масштаба при неизменных свойствах и ΔT увеличивает Ra в 8 раз. Выбор длины должен совпадать с определением корреляции: высота вертикальной пластины и иной геометрический масштаб не взаимозаменяемы.

Число Рэлея не является коэффициентом теплоотдачи. Для получения h обычно используют зависимость Nu=f(Ra,Pr,геометрия), после чего h=Nu·k/L. Прямое присвоение h=Ra нарушает и физический смысл, и размерность.

Направление температурного градиента определяет устойчивость. Нагрев снизу в горизонтальном слое и нагрев сверху могут иметь одинаковый положительный модуль Ra, но разную склонность к конвективному движению. Поэтому вместе с числом всегда указывают конфигурацию.

Как пользоваться формулой

  1. Выберите характерный размер L точно по геометрии и корреляции свободной конвекции, которую собираетесь применять.
  2. Запишите β,ν,α и температурную разность в согласованных единицах; проверьте температуру, при которой заданы свойства среды.
  3. Вычислите gβ|ΔT|L³ и разделите на να, не заменяя температуропроводность α теплопроводностью k.
  4. Проверьте результат как Gr·Pr и отдельно укажите ориентацию нагрева; для h используйте подходящую геометрическую корреляцию.

Историческая справка

Число Рэлея относится к безразмерному описанию тепловой конвекции и соединяет температурную плавучесть с диффузионными процессами. Его современная запись удобна тем, что связывает гидродинамический критерий Грасгофа с тепловым критерием Прандтля.

В расчётных руководствах свободную и вынужденную конвекцию разделяют, потому что источник движения различен. Официальная документация COMSOL определяет Ra через GrPr и помещает его в систему критериев для коэффициентов теплоотдачи. Такое изложение подчёркивает исторически важный переход от отдельных опытных кривых к подобию, но сохраняет привязку корреляций к геометрии. Имя критерия не заменяет проверку ориентации, свойств среды и температурного диапазона.

Историческая линия формулы

Критерий носит имя Рэлея в традиции исследований тепловой конвекции. Приведённая форма использует кинематическую вязкость и температуропроводность и связана с Gr и Pr. Современная программная документация подтверждает соглашения и применение, а не приписывает себе исходное открытие.

Пример

Для учебной среды заданы g=10 м/с²,β=0,003 К⁻¹,|ΔT|=10 К,L=0,10 м,ν=10⁻⁵ м²/с,α=10⁻⁵ м²/с. Эти числа являются исходными данными примера, а не таблицей свойств конкретной жидкости. Числитель 10·0,003·10·0,10³=0,0003 м⁴/с². Знаменатель 10⁻⁵·10⁻⁵=10⁻¹⁰ м⁴/с². Получаем Ra=3·10⁶. Проверка: Pr=ν/α=1, Gr=0,0003/ν²=3·10⁶, произведение совпадает. При удвоении L до 0,20 м Ra возрастёт до 2,4·10⁷. Ответ безразмерен; он не позволяет без геометрии объявить режим турбулентным или назначить конкретное h. Тепловая диффузия здесь задана отдельно от вязкой.

Частая ошибка

Не подставляйте теплопроводность вместо температуропроводности: у них разные единицы. Не меняйте характерную длину без изменения применяемой корреляции. Не объявляйте единый порог перехода для всех ориентаций. Не путайте критерий Ra с коэффициентом h в Вт/(м²·К).

Практика

Задачи с решением

Другой размер

Условие. При неизменных свойствах Ra=3·10⁶ для L=0,10 м. Найдите Ra при L=0,20 м.

Решение. Отношение длин 2, критерий увеличивается в 2³=8 раз.

Ответ. 2,4·10⁷.

Связь критериев

Условие. Gr=7,5·10⁵,Pr=2. Найдите Ra.

Решение. Ra=GrPr=7,5·10⁵·2=1,5·10⁶.

Ответ. 1,5·10⁶.

Дополнительные источники

  • https://doc.comsol.com/6.3/doc/com.comsol.help.heat/heat_ug_theory.07.094.html
  • https://doc.comsol.com/6.3/doc/com.comsol.help.heat/heat_ug_theory.07.095.html

Связанные формулы

Инженерия

Число Грасгофа: плавучесть и вязкое сопротивление

$\mathrm{Gr}=\frac{g\beta|\Delta T|L^3}{\nu^2}$

Число Грасгофа характеризует температурно вызванное движение среды по сравнению с вязким действием. Оно используется в свободной конвекции, где скорость потока заранее не задана.

Инженерия

Число Прандтля: диффузия импульса и тепла

$\mathrm{Pr}=\frac{\nu}{\alpha}=\frac{\mu c_p}{k},\qquad \alpha=\frac{k}{\rho c_p}$

Число Прандтля сравнивает кинематическую вязкость с температуропроводностью. Оно показывает соотношение молекулярного переноса импульса и тепла и при заданном состоянии среды не зависит от скорости или длины объекта.