Математика / Численное интегрирование

Поправка Эйлера—Маклорена к формуле трапеций

Если известны производные на концах, поправка Эйлера—Маклорена устраняет главный член ошибки составных трапеций. Для достаточно гладкой функции порядок ошибки повышается с h² до h⁴.

Опубликовано: 6 ноября 2026 г.Обновлено: 6 ноября 2026 г.

Формула

I=\int_a^b f(x)\,dx\approx T_h-\frac{h^2}{12}\left[f^{\prime}(b)-f^{\prime}(a)\right],\qquad h=\frac{b-a}{n}

Схема Модуль ошибки на x⁴ при n=2

На [0,1] поправка уменьшила абсолютную ошибку с 0,08125 до 1/480.

Обозначения

$T_h$: составная формула трапеций с шагом h, единицы интеграла
$h$: равномерный шаг сетки, единицы x
$f′(a),f′(b)$: производные на двух концах отрезка, единицы f / единицы x
$n$: число равных подынтервалов

Условия применения

Сетка равномерна и содержит оба конца. Для заявленного порядка O(h⁴) достаточно непрерывных производных до четвёртого порядка на замкнутом отрезке. Поправка использует именно разность производных в направлении от a к b, а T_h включает половинные веса крайних значений.

Ограничения

При сингулярности функции или производных на конце обычное разложение ошибки может не работать. Неточная производная создаёт собственную ошибку, умноженную на h²/12. Поправка убирает один ведущий член и не делает произвольную функцию полиномом, интегрируемым точно.

Подробное объяснение

Для гладкой функции ошибка составных трапеций имеет ведущий член h²[f′(b)−f′(a)]/12 в разности T_h−I. Поэтому для приближения самого интеграла этот член нужно вычесть. Знак поправки задаётся кривизной через изменение наклона, а не выбирается по желаемому ответу.

На f=x² в отрезке [0,1] трапеции завышают площадь. Концевые производные равны 0 и 2, поэтому положительная поправка вычитается. На любом равномерном числе подынтервалов после вычитания получается 1/3 точно: у квадратичного полинома отсутствуют производные, отвечающие следующим членам ошибки.

Для x⁴ после первой поправки остаётся член порядка h⁴. При n=2 исходная сумма T_h=0,28125, поправка h²·4/12=1/12, и результат 0,1979166667 немного ниже точного 0,2. Следующее исправление связано с разностью третьих производных и здесь возвращает точный ответ.

Уменьшение шага вдвое в асимптотическом режиме уменьшает оставшуюся ошибку примерно в 16 раз вместо 4. Но такое соотношение не стоит принимать за доказанную оценку без проверки гладкости и достижения режима малых шагов. Ошибки исходных значений и производных могут ограничить эффект уточнения.

В отличие от Ромберга, который сочетает суммы на разных шагах, здесь используется информация о производных на границах. Оба подхода связаны с разложением ошибки по степеням шага, но требуют разных исходных данных. Если производные неизвестны, их грубое численное восстановление может свести преимущество поправки на нет.

Как пользоваться формулой

Найдите h=(b−a)/n и вычислите составные трапеции с половинными весами значений в концах, сохранив равномерность сетки.
Аналитически найдите f′(a) и f′(b) или используйте проверенные значения модели; не подменяйте их значениями самой функции.
Умножьте разность f′(b)−f′(a) на h²/12 и вычтите результат из T_h, следя за знаками крайних производных.
Проверьте результат на меньшем шаге или по первообразной; отдельно учитывайте погрешность, с которой известны производные.

Историческая справка

Формула Эйлера—Маклорена связывает суммы с интегралами через значения производных на границах и числа Бернулли. Поправка к трапециям является одним из первых членов этой связи, а не самостоятельным правилом, не связанным с суммированием.

В NIST DLMF раздел 2.10 посвящён этой формуле, а раздел 3.5 отмечает её применение к улучшению составных трапеций. Учебное изложение Николаса Маршалла в Princeton показывает связь разложения по шагу с экстраполяцией. Такая перспектива объясняет, почему крайние производные позволяют исправить интеграл без новых внутренних измерений. Важен именно контролируемый остаток разложения: формальное добавление всё новых производных без анализа не гарантирует улучшения.

Историческая линия формулы

Название сохраняет имена Эйлера и Маклорена в общей формуле суммирования. Приведённое исправление — её применение к численному интегрированию на равномерной сетке. Современная запись через T_h и O(h⁴) описывает точность и не является утверждением об отдельном авторстве этой нотации.

Пример

Интегрируем x⁴ на [0,1] при n=2, h=0,5. Значения функции в узлах:0,1/16,1. Трапеции дают T_h=0,5·(0/2+1/16+1/2)=9/32=0,28125. Концевые производные f′(0)=0, f′(1)=4. Поправка равна(0,5²/12)·4=1/12. Тогда I_corr=9/32−1/12=19/96≈0,1979166667. Ответ — приближение интеграла. Точное значение по первообразной x⁵/5 равно 0,2. Проверка ошибки: I_corr−I=−1/480≈−0,0020833333. Исходная ошибка трапеций составляла 0,08125, после поправки её модуль стал в 39 раз меньше. Степень h² умножается на производную с единицами f/x, поэтому размерность поправки совпадает с f·x, то есть размерностью интеграла.

Частая ошибка

Не прибавляйте ведущий член к трапециям: для записи T_h−I он положителен и должен вычитаться при вычислении I. Не путайте число узлов n+1 и число подынтервалов n. Не заявляйте четвёртый порядок при бесконечной концевой производной. Не заменяйте точную производную грубой разностью без оценки её собственной ошибки.

Практика

Задачи с решением

Квадратичная функция

Условие. Исправьте трапеции для x² на [0,1] при n=1.

Решение. T=1/2, h=1, разность производных 2. I_corr=1/2−2/12=1/3.

Ответ. 1/3 точно.

Кубическая функция

Условие. Исправьте трапеции для x³ на [0,1] при n=1.

Решение. T=1/2, разность производных 3. I_corr=1/2−3/12=1/4; следующий член отсутствует.

Ответ. 1/4 точно.

Дополнительные источники

https://dlmf.nist.gov/2.10
https://dlmf.nist.gov/3.5
https://web.math.princeton.edu/~nfm2/euler-maclaurin.pdf

Связанные формулы

Математика

Составная формула трапеций для вычисления интеграла

$T_n=h\left[\frac{f(a)+f(b)}2+\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right],\quad h=\frac{b-a}{n}$

Составная формула трапеций приближает определённый интеграл суммой площадей под линейными отрезками между соседними узлами. Концевые значения получают половинный вес.

Математика

Метод Ромберга: таблица уточнений интеграла

$R_{k,0}=T_{2^k},\quad R_{k,j}=R_{k,j-1}+\frac{R_{k,j-1}-R_{k-1,j-1}}{4^j-1},\quad 1\le j\le k$

Метод Ромберга строит таблицу из составных трапеций с последовательным удвоением числа отрезков. Экстраполяция устраняет ведущие чётные степени шага и повышает точность без смены уже вычисленных узлов.

Математика

Формула Симпсона: интеграл по параболическим дугам

$S_n=\frac h3\left[f_0+f_n+4\!\sum_{\substack{i=1\\i\text{ нечётное}}}^{n-1}f_i+2\!\sum_{\substack{i=2\\i\text{ чётное}}}^{n-2}f_i\right]$

Составная формула Симпсона объединяет соседние промежутки попарно и заменяет функцию параболой через три узла. Для равномерной сетки число промежутков должно быть чётным.