Математика

Численное интегрирование

Квадратуры, уточнение и оценка вычислительной ошибки интеграла.

Как выбрать подходящий материал

Выберите формулу по гладкости функции и доступным узлам. Трапеции и Симпсон используют сетку, квадратура Гаусса — специально выбранные узлы.
Уточняйте шаг или число узлов и оценивайте ошибку. Адаптивный метод меняет разбиение локально; Монте-Карло оценивает статистическую ошибку, а не порядок сеточной формулы.

7 формул

Формулы темы

Составная формула трапеций для вычисления интеграла

Составная формула трапеций приближает определённый интеграл суммой площадей под линейными отрезками между соседними узлами. Концевые значения получают половинный вес.

$T_n=h\left[\frac{f(a)+f(b)}2+\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right],\quad h=\frac{b-a}{n}$

Формула Симпсона: интеграл по параболическим дугам

Составная формула Симпсона объединяет соседние промежутки попарно и заменяет функцию параболой через три узла. Для равномерной сетки число промежутков должно быть чётным.

$S_n=\frac h3\left[f_0+f_n+4\!\sum_{\substack{i=1\\i\text{ нечётное}}}^{n-1}f_i+2\!\sum_{\substack{i=2\\i\text{ чётное}}}^{n-2}f_i\right]$

Составная формула средних прямоугольников

Составная формула средних прямоугольников заменяет интеграл суммой площадей с высотами в серединах равных отрезков. Для гладкой функции погрешность имеет второй порядок по шагу, хотя значения на концах не используются.

$M_n=h\sum_{i=0}^{n-1}f\!\left(a+\left(i+\tfrac12\right)h\right),\quad h=\frac{b-a}{n}$

Квадратура Гаусса—Лежандра с двумя узлами

Двухузловая квадратура Гаусса—Лежандра вычисляет функцию в двух специально выбранных внутренних точках. На конечном отрезке с единичным весом она точно интегрирует любой многочлен степени не выше трёх.

$G_2=\frac{b-a}{2}\left[f\!\left(m-\frac{b-a}{2\sqrt3}\right)+f\!\left(m+\frac{b-a}{2\sqrt3}\right)\right],\quad m=\frac{a+b}{2}$

Метод Ромберга: таблица уточнений интеграла

Метод Ромберга строит таблицу из составных трапеций с последовательным удвоением числа отрезков. Экстраполяция устраняет ведущие чётные степени шага и повышает точность без смены уже вычисленных узлов.

$R_{k,0}=T_{2^k},\quad R_{k,j}=R_{k,j-1}+\frac{R_{k,j-1}-R_{k-1,j-1}}{4^j-1},\quad 1\le j\le k$

Адаптивный Симпсон: локальная оценка ошибки

Адаптивный метод Симпсона сравнивает одну параболическую оценку с двумя оценками на половинах. Разность даёт локальный индикатор ошибки, по которому алгоритм уточняет только те участки, где не достигнут допуск.

$S_1=S(a,b),\ S_2=S(a,m)+S(m,b),\quad \varepsilon_{\mathrm{est}}=\frac{|S_2-S_1|}{15},\quad I\approx S_2+\frac{S_2-S_1}{15}$

Интеграл методом Монте-Карло: среднее и ошибка

Метод Монте-Карло оценивает интеграл как длину отрезка, умноженную на среднее значений функции в случайных равномерных точках. Разброс оценки измеряют стандартной ошибкой, которая при независимой выборке убывает как N⁻¹ᐟ².

$\hat I_N=\frac{b-a}{N}\sum_{i=1}^N f(X_i),\quad X_i\overset{\mathrm{iid}}\sim U(a,b),\quad\widehat{\mathrm{SE}}=(b-a)\frac{s_f}{\sqrt N}$