Все формулы РФ

Математика / Начала анализа

Составная формула средних прямоугольников

Составная формула средних прямоугольников заменяет интеграл суммой площадей с высотами в серединах равных отрезков. Для гладкой функции погрешность имеет второй порядок по шагу, хотя значения на концах не используются.

Опубликовано: Обновлено:

Математический анализЧисленные методыСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справка

Формула

$$M_n=h\sum_{i=0}^{n-1}f\!\left(a+\left(i+\tfrac12\right)h\right),\quad h=\frac{b-a}{n}$$
Схема Средние прямоугольники: x², n = 4
Средние прямоугольники: x², n = 4Средние прямоугольники: x², n = 4402

Ось x: 0…2, ось y: 0…4. Высота каждой фигуры взята в её середине.

Обозначения

$Mn$
приближение определённого интеграла, единица f × единица x
$a,b$
нижняя и верхняя границы, a<b, единица x
$n$
положительное целое число отрезков, 1
$h$
ширина каждой ячейки, единица x
$f$
интегрируемая функция, по задаче

Условия применения

Функция интегрируема на конечном отрезке и определена во всех выбранных серединах. Для оценки второго порядка требуется непрерывная вторая производная. Сетка равномерная, n — положительное целое, а границы заданы в согласованных единицах.

Ограничения

Редкий набор середин способен пропустить узкий пик или высокочастотные колебания. При недостаточной гладкости оценка O(h²) может не выполняться. Если исходные данные известны только в узлах другой сетки, интерполяция добавляет собственную ошибку.

Подробное объяснение

В каждой ячейке кривую заменяют горизонтальным отрезком на высоте значения в середине. Его площадь равна h·f(mᵢ). Для знакопеременной функции это ориентированная площадь: отрицательные значения входят с минусом, поэтому сумма не всегда равна геометрической площади фигуры.

Симметрия относительно середины уничтожает вклад линейного члена разложения Тейлора. Первым остаётся член со второй производной. После суммирования ячеек получается I−Mn=(b−a)h²f″(ξ)/24 при достаточной гладкости. Поэтому для выпуклой функции правило обычно занижает интеграл.

Если известна граница |f″|≤K, модуль ошибки не превышает (b−a)h²K/24. Уменьшение шага вдвое уменьшает эту границу в четыре раза. Такое сравнение осмысленно после попадания в область гладкого поведения, а не как обещание для любого набора данных.

В отличие от левых прямоугольников, средние не имеют одностороннего сдвига точки отсчёта. Для линейной функции они дают точный результат. От составных трапеций отличаются местами вычисления: сетки одинаковой ширины могут требовать совершенно разных значений функции.

Как пользоваться формулой

  1. Задайте конечные границы и число ячеек; вычислите общий шаг как длину отрезка, делённую на это число.
  2. В каждой ячейке найдите середину a+(i+1/2)h и вычислите функцию именно там, не на левом или правом конце.
  3. Сложите все средние высоты и умножьте сумму на шаг, сохраняя знаки функции и единицы площади под графиком.
  4. Повторите расчёт с половинным шагом и сравните оценки; если известна вторая производная, проверьте границу ошибки.

Историческая справка

Средние прямоугольники принадлежат традиции квадратур — замены интеграла конечной взвешенной суммой. Их особенность связана с симметрией ячейки: линейная часть изменения функции сокращается, поэтому средняя высота точнее одностороннего выбора при достаточно гладком графике.

В вычислительных изложениях XX–XXI веков это правило используют как простой пример связи мест вычисления, порядка погрешности и числа обращений к функции. NIST DLMF рассматривает квадратуры вместе с остаточными членами, а Fundamentals of Numerical Computation связывает их с интерполяцией и уточнением сетки. Составная запись переносит одно и то же локальное правило на весь отрезок. Здесь нет необходимости выделять единственного автора: учебная формула выражает общую идею численного интегрирования.

Историческая линия формулы

Формула средних прямоугольников относится к базовым составным квадратурам. Её второй порядок следует из симметрии вокруг середины и разложения гладкой функции. Название описывает геометрию приближения, а не однозначную персональную атрибуцию.

Пример

Найдём интеграл x² на [0;2] четырьмя средними прямоугольниками. Шаг h=0,5, середины 0,25;0,75;1,25;1,75. Квадраты равны 0,0625;0,5625;1,5625;3,0625, сумма 5,25. Поэтому M₄=0,5·5,25=2,625. Точное значение по первообразной равно 8/3≈2,666667, ошибка I−M₄=1/24≈0,041667. Для восьми ячеек M₈=2,65625, ошибка 1/96 — в четыре раза меньше. Проверка оценки: f″=2, поэтому (b−a)h²·2/24=1/24. Здесь граница достигается; знак ошибки положителен, поскольку парабола выпукла. Все числа относятся к безразмерной учебной функции.

Частая ошибка

Число ячеек n не равно числу концов n+1. Значения в серединах нельзя заменить узловыми без смены метода. Разность двух уточнений сама по себе не доказывает точность при пропущенном пике. Нельзя складывать модули отрицательных высот, если требуется интеграл, а не геометрическая площадь.

Практика

Задачи с решением

Линейная функция

Условие. Вычислите интеграл f(x)=2x+1 на [0;2] при n=2.

Решение. h=1; середины 0,5 и 1,5. Значения 2 и 4, M₂=1·(2+4)=6.

Ответ. 6, точное значение.

Граница ошибки

Условие. a=0,b=1,n=10, |f″|≤12. Оцените модуль ошибки.

Решение. h=0,1; граница 1·0,1²·12/24=0,005.

Ответ. Не более 0,005.

Дополнительные источники

  • https://dlmf.nist.gov/3.5
  • https://fncbook.com/integration/

Связанные формулы

Математика

Составная формула трапеций для вычисления интеграла

$T_n=h\left[\frac{f(a)+f(b)}2+\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right],\quad h=\frac{b-a}{n}$

Составная формула трапеций приближает определённый интеграл суммой площадей под линейными отрезками между соседними узлами. Концевые значения получают половинный вес.

Математика

Формула Симпсона: интеграл по параболическим дугам

$S_n=\frac h3\left[f_0+f_n+4\!\sum_{\substack{i=1\\i\text{ нечётное}}}^{n-1}f_i+2\!\sum_{\substack{i=2\\i\text{ чётное}}}^{n-2}f_i\right]$

Составная формула Симпсона объединяет соседние промежутки попарно и заменяет функцию параболой через три узла. Для равномерной сетки число промежутков должно быть чётным.

Математика

Квадратура Гаусса—Лежандра с двумя узлами

$G_2=\frac{b-a}{2}\left[f\!\left(m-\frac{b-a}{2\sqrt3}\right)+f\!\left(m+\frac{b-a}{2\sqrt3}\right)\right],\quad m=\frac{a+b}{2}$

Двухузловая квадратура Гаусса—Лежандра вычисляет функцию в двух специально выбранных внутренних точках. На конечном отрезке с единичным весом она точно интегрирует любой многочлен степени не выше трёх.