Математика / Начала анализа

Квадратура Гаусса—Лежандра с двумя узлами

Двухузловая квадратура Гаусса—Лежандра вычисляет функцию в двух специально выбранных внутренних точках. На конечном отрезке с единичным весом она точно интегрирует любой многочлен степени не выше трёх.

Опубликовано: 26 октября 2026 г.Обновлено: 26 октября 2026 г.

Формула

G_2=\frac{b-a}{2}\left[f\!\left(m-\frac{b-a}{2\sqrt3}\right)+f\!\left(m+\frac{b-a}{2\sqrt3}\right)\right],\quad m=\frac{a+b}{2}

Схема Два узла: перенос на [0;2]

Точки x₁≈0,42265 и x₂≈1,57735 симметричны относительно 1. Высоты для x³ показаны на отдельном масштабе y.

Обозначения

$G₂$: двухузловое приближение интеграла, единица f × единица x
$a,b$: конечные границы, единица x
$m$: середина отрезка, единица x
$f$: интегрируемая функция с весом 1, по задаче

Условия применения

Границы конечны, a<b, функция определена в двух внутренних узлах. Полиномиальная точность относится к весу 1. Для классического остатка требуется непрерывная четвёртая производная; узлы на [-1;1] переносят на [a;b] линейной заменой переменной.

Ограничения

Правило не использует значения на концах и неприменимо напрямую к таблице, в которой нет нужных узлов. Два узла могут пропустить особенность между ними. Наличие точности для кубического многочлена не делает правило точным для любой гладкой функции.

Подробное объяснение

На стандартном отрезке [-1;1] узлы равны ±1/√3, веса обоих равны единице. Симметрия автоматически даёт точность для нечётных степеней, а выбор расстояния от центра обеспечивает верный второй момент. Поэтому два вычисления восстанавливают интегралы многочленов вплоть до куба.

При переходе к [a;b] координату сдвигают в середину и растягивают на половину длины. Дифференциал даёт множитель (b−a)/2 перед суммой. Забыв этот множитель, получают верное среднее значение в узлах, но неверный масштаб интеграла.

Для четырежды гладкой функции остаток I−G₂=(b−a)⁵f⁽⁴⁾(ξ)/4320. Это локальная оценка одного отрезка. В составном варианте общая ошибка уменьшается как четвёртая степень ширины равных частей при достаточной гладкости.

Квадратура Гаусса отличается от полиномиальной интерполяции на заранее данных равномерных точках: она выбирает сами места измерения. Нельзя заменить два узла концами отрезка и ожидать той же точности; это будет уже правило трапеций.

Как пользоваться формулой

Найдите середину отрезка и половину его длины, затем разделите половину длины на квадратный корень из трёх.
Отложите полученное расстояние в обе стороны от середины; проверьте, что оба вычислительных узла лежат внутри границ.
Вычислите функцию в двух узлах, сложите результаты и умножьте сумму на половину длины исходного отрезка.
Для контроля проверьте точность на кубическом многочлене либо повторите правило по двум половинам сложного отрезка.

Историческая справка

Гауссовы квадратуры используют свободу выбора узлов для повышения степени точности взвешенной суммы. В варианте Лежандра узлы связаны с корнями ортогонального многочлена для единичного веса на [-1;1]. Для двух узлов этот многочлен пропорционален 3x²−1, что и даёт координаты ±1/√3.

В справочной численной математике XX–XXI веков правило рассматривают как часть семейства с n узлами и точностью до степени 2n−1. NIST DLMF связывает узлы, веса и остаток с ортогональными многочленами. Современная запись на произвольном отрезке добавляет обычное линейное преобразование координат. Название Гаусса—Лежандра отмечает традицию квадратур и используемое семейство многочленов; оно не означает, что каждую перенесённую двухузловую формулу открывали заново.

Историческая линия формулы

Название Гаусса—Лежандра относится к гауссовой квадратуре с узлами из многочлена Лежандра и весом 1. Двухузловая запись — частный случай общего семейства. Перенос с [-1;1] на [a;b] следует из замены переменной и не имеет отдельной персональной атрибуции.

Пример

Интегрируем f(x)=x³ на [0;2]. Середина m=1, половина длины 1, узлы x₁=1−1/√3≈0,422650 и x₂=1+1/√3≈1,577350. Положим r=1/√3. Сумма кубов (1−r)³+(1+r)³=2+6r²=4. Множитель половины длины равен единице, поэтому G₂=4. Точное значение по первообразной x⁴/4 также равно 4. Для x⁴ на тех же границах сумма значений равна 2+12r²+2r⁴=56/9≈6,222222, тогда как интеграл 32/5=6,4. Остаток равен 8/45≈0,177778. Проверка показывает границу точности: куб интегрируется точно, четвёртая степень уже нет. Оба узла лежат строго внутри исходного отрезка.

Частая ошибка

Узлы ±1/√3 относятся только к [-1;1]; для других границ нужен перенос. Множитель половины длины нельзя потерять. Вес 1 отличает правило Лежандра от других гауссовых квадратур. Полиномиальную точность не следует переносить на разрывные функции или произвольные табличные данные.

Практика

Задачи с решением

Постоянная функция

Условие. f(x)=5 на [2;6]. Найдите G₂.

Решение. Половина длины 2; оба значения равны 5. G₂=2·(5+5)=20.

Ответ. 20.

Квадрат на стандартном отрезке

Условие. Найдите G₂ для x² на [-1;1].

Решение. Оба квадрата узлов равны 1/3, веса 1; сумма 2/3.

Ответ. 2/3, точное значение.

Дополнительные источники

https://dlmf.nist.gov/3.5
https://fncbook.com/integration/

Связанные формулы

Математика

Составная формула средних прямоугольников

$M_n=h\sum_{i=0}^{n-1}f\!\left(a+\left(i+\tfrac12\right)h\right),\quad h=\frac{b-a}{n}$

Составная формула средних прямоугольников заменяет интеграл суммой площадей с высотами в серединах равных отрезков. Для гладкой функции погрешность имеет второй порядок по шагу, хотя значения на концах не используются.

Математика

Формула Симпсона: интеграл по параболическим дугам

$S_n=\frac h3\left[f_0+f_n+4\!\sum_{\substack{i=1\\i\text{ нечётное}}}^{n-1}f_i+2\!\sum_{\substack{i=2\\i\text{ чётное}}}^{n-2}f_i\right]$

Составная формула Симпсона объединяет соседние промежутки попарно и заменяет функцию параболой через три узла. Для равномерной сетки число промежутков должно быть чётным.

Математика

Метод Ромберга: таблица уточнений интеграла

$R_{k,0}=T_{2^k},\quad R_{k,j}=R_{k,j-1}+\frac{R_{k,j-1}-R_{k-1,j-1}}{4^j-1},\quad 1\le j\le k$

Метод Ромберга строит таблицу из составных трапеций с последовательным удвоением числа отрезков. Экстраполяция устраняет ведущие чётные степени шага и повышает точность без смены уже вычисленных узлов.