Математика / Начала анализа

Интеграл методом Монте-Карло: среднее и ошибка

Метод Монте-Карло оценивает интеграл как длину отрезка, умноженную на среднее значений функции в случайных равномерных точках. Разброс оценки измеряют стандартной ошибкой, которая при независимой выборке убывает как N⁻¹ᐟ².

Опубликовано: 26 октября 2026 г.Обновлено: 26 октября 2026 г.

Формула

\hat I_N=\frac{b-a}{N}\sum_{i=1}^N f(X_i),\quad X_i\overset{\mathrm{iid}}\sim U(a,b),\quad\widehat{\mathrm{SE}}=(b-a)\frac{s_f}{\sqrt N}

Схема Среднее x² по четырём учебным точкам

Оси x и f(x) безразмерны. Горизонталь 0,335 — средняя высота четырёх показанных значений.

Обозначения

$ÎN$: случайная оценка интеграла, единица f × единица x
$Xi$: независимая равномерная точка в [a,b], единица x
$N$: объём случайной выборки, 1
$sf$: выборочное стандартное отклонение f(Xi), делитель N−1, единица f
$SE$: оценённый масштаб ошибки интеграла, единица интеграла

Условия применения

Точки независимы и равномерны на конечном отрезке, а значения f имеют конечное ожидание. Для стандартной ошибки требуется конечная дисперсия и N>1. Псевдослучайный генератор и его начальное состояние фиксируют, если нужна воспроизводимость опыта.

Ограничения

Стандартная ошибка — вероятностный масштаб, а не строгая верхняя граница фактической ошибки. Увеличение N не гарантирует монотонного улучшения отдельной реализации. Для коррелированных точек, иной плотности или бесконечной дисперсии приведённая формула ошибки не подходит.

Подробное объяснение

При X, равномерном на [a,b], математическое ожидание f(X) равно интегралу, делённому на b−a. Замена ожидания выборочным средним даёт несмещённую оценку интеграла. Здесь источником погрешности служит случайная выборка, а не аппроксимация графика прямоугольниками фиксированной сетки.

Независимость позволяет сложить дисперсии: Var(ÎN)=(b−a)²Var(f(X))/N. Поэтому стандартное отклонение уменьшается лишь как обратный корень объёма. Для уменьшения типичного масштаба ошибки вдвое нужно примерно вчетверо больше точек.

Неизвестную дисперсию значений функции заменяют выборочной с делителем N−1. При достаточно большом N и условиях центральной предельной теоремы можно строить приближённые интервалы. На нескольких учебных точках такой интервал ещё не имеет надёжного нормального обоснования.

Для неравномерного отбора нужна поправка на плотность, иначе среднее оценивает другое ожидание. Для коррелированных последовательностей эффективное число независимых точек меньше фактического. Чёткое описание генерации поэтому входит в смысл результата вместе с числом ÎN.

Как пользоваться формулой

Укажите конечный отрезок и способ генерации независимых равномерных точек; сохраните начальное состояние генератора для повторения.
Вычислите функцию в каждой точке, найдите среднее значений и умножьте его на длину отрезка интегрирования.
При N больше единицы найдите выборочную дисперсию значений функции с делителем N−1 и оцените стандартную ошибку.
Сообщите оценку, объём выборки и масштаб ошибки; не выдавайте стандартную ошибку за гарантированную границу.

Историческая справка

Монте-Карло связывает интегрирование с вероятностным усреднением. Вместо геометрического построения сетки интеграл записывают как ожидание, а вычисления организуют как выборку случайных значений. Это меняет и язык погрешности: её описывают распределением оценки и стандартной ошибкой.

В вычислительной практике XX–XXI веков такой подход получил широкое применение вместе с моделированием и многомерными интегралами. Университетские материалы TU Clausthal отделяют прямое усреднение от варианта попаданий под график, а лекции Оксфорда выводят оценку дисперсии через выборочные значения. Современный расчёт дополняют воспроизводимым генератором и методами уменьшения дисперсии. Конкретная формула среднего опирается на законы вероятности; её не следует представлять как единоличное открытие одного автора случайных вычислений.

Историческая линия формулы

Монте-Карло — семейство вероятностных вычислительных методов. Здесь используется прямое независимое усреднение значений функции, а не подсчёт попаданий. Оценка стандартной ошибки следует из дисперсии выборочного среднего при конечной дисперсии функции.

Пример

Проиллюстрируем усреднение для f(x)=x² на [0;1] четырьмя заданными учебными точками 0,1;0,4;0,6;0,9. Их не выдаём за проведённый случайный эксперимент: это фиксированный набор для проверки арифметики. Значения функции 0,01;0,16;0,36;0,81, сумма 1,34, среднее 0,335. Длина отрезка 1, поэтому оценка интеграла 0,335. Истинный интеграл 1/3, отличие 1/600≈0,001667. Сумма квадратов отклонений значений от среднего равна 0,3625; выборочная дисперсия 0,120833333, оценка стандартной ошибки √(0,118966667/4)≈0,173805. Вероятностный смысл последнего числа появился бы при независимом равномерном отборе; близость текущего ответа к 1/3 не доказывает точности метода на четырёх точках.

Частая ошибка

Фиксированные равноотстоящие узлы не становятся случайными от названия метода. Нельзя забывать длину отрезка перед средним. Деление стандартного отклонения на N вместо √N занижает ошибку. Малую фактическую ошибку одной реализации нельзя принять за оценку дисперсии будущих запусков.

Практика

Задачи с решением

Масштаб отрезка

Условие. На [2;5] среднее f(Xi)=4. Какова оценка интеграла?

Решение. Длина равна 3; оценка 3·4=12.

Ответ. 12 в единицах интеграла.

Увеличение выборки

Условие. При независимом отборе типичная ошибка 0,02 для N=1000. Каков масштаб при N=4000 с той же дисперсией?

Решение. Объём вырос в 4 раза; стандартная ошибка уменьшается в √4=2 раза.

Ответ. Около 0,01.

Дополнительные источники

https://www.mathematik.tu-clausthal.de/en/education/mathematics-interactive/integration/monte-carlo-integration
https://www.stats.ox.ac.uk/~rebeschi/teaching/AdvSim/18/slides/L2.pdf

Связанные формулы

Математика

Математическое ожидание дискретной случайной величины

$M(X)=\sum_i x_i p_i$

Формула «Математическое ожидание дискретной случайной величины» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Дисперсия дискретной случайной величины

$D(X)=\sum_i (x_i-M(X))^2p_i$

Формула «Дисперсия дискретной случайной величины» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Составная формула средних прямоугольников

$M_n=h\sum_{i=0}^{n-1}f\!\left(a+\left(i+\tfrac12\right)h\right),\quad h=\frac{b-a}{n}$

Составная формула средних прямоугольников заменяет интеграл суммой площадей с высотами в серединах равных отрезков. Для гладкой функции погрешность имеет второй порядок по шагу, хотя значения на концах не используются.