Финансы / Кредиты и ипотека

Формула остатка долга по аннуитетному кредиту

Остаток долга по аннуитетному кредиту показывает, какая часть первоначального долга остается после k равных платежей при заданной периодической ставке.

Опубликовано: 2 июня 2026 г.Обновлено: 2 июня 2026 г.

Формула

B_k=PV(1+r)^k-PMT\frac{(1+r)^k-1}{r}

Обозначения

$B_k$: остаток долга после k платежей, денежные единицы
$PV$: начальная сумма кредита, денежные единицы
$r$: ставка за один платежный период, доля единицы
$PMT$: равный аннуитетный платеж, денежные единицы за период
$k$: число уже внесенных платежей, периоды

Условия применения

Платежи считаются равными и вносятся в конце каждого периода.
Ставка r должна соответствовать периоду платежа: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Комиссии, страховки и досрочные погашения не входят в базовую формулу.

Ограничения

Реальные кредитные графики могут отличаться из-за округлений, календарных баз, комиссий и изменения ставки.
При досрочных платежах или пропусках платежей нужно пересчитывать график отдельно.
Если r = 0, используется упрощение B_k = PV - PMT*k, потому что дробь с r в знаменателе неприменима.

Подробное объяснение

Формула остатка долга соединяет две силы: рост долга за счет начисленных процентов и уменьшение долга за счет равных платежей. Первая часть PV(1+r)^k показывает, во что превратилась бы начальная сумма, если бы платежей не было. Вторая часть вычитает накопленную стоимость уже внесенных платежей.

Платежи вычитаются не простой суммой PMT*k, потому что каждый ранний платеж уменьшает долг раньше и тем самым влияет на последующие проценты. Множитель ((1+r)^k - 1)/r является будущей стоимостью аннуитета из k платежей на момент после k-го периода.

В начале срока большая часть платежа обычно уходит на проценты, потому что остаток долга велик. По мере снижения остатка процентная часть уменьшается, а доля погашения основного долга растет. Формула B_k позволяет получить тот же результат, что и график, но в одной строке при постоянных условиях.

Расчет особенно полезен для проверки учебного графика амортизации. Если после k платежей остаток по формуле сильно отличается от табличного графика, нужно искать ошибку в периодической ставке, округлении платежа или моменте внесения платежей.

Перед применением следует уточнить, что платежи вносятся в конце периода. Если платежи делаются в начале периода, формула меняется. Для реальных договоров также важны календарные дни, комиссии и правила округления, поэтому учебный результат может отличаться от банковского графика.

Как пользоваться формулой

Определите начальную сумму кредита PV.
Приведите ставку r к периоду платежа.
Возьмите размер равного платежа PMT.
Подставьте число внесенных платежей k.
Вычислите обе части формулы и вычтите накопленную стоимость платежей.

Историческая справка

Аннуитетные расчеты выросли из задач о рентах, страховании жизни и кредитовании. Уже в ранней финансовой математике требовалось связывать текущую сумму, регулярный платеж, срок и процентную ставку. С развитием банковского кредитования и ипотечных рынков равный платеж стал удобной формой для заемщика и кредитора: платеж стабилен, а график можно рассчитать заранее. Формула остатка долга является алгебраическим следствием будущей стоимости кредита и платежного аннуитета. В XX веке такие расчеты вошли в банковские таблицы, финансовые калькуляторы и электронные таблицы. Сейчас формула используется как учебное ядро амортизационного графика, хотя конкретные договоры могут добавлять календарные и юридические детали.

Пример

Дано: кредит 300 000 рублей, месячная ставка 1%, аннуитетный платеж 26 654,64 рубля, внесено 6 платежей. Нужно найти остаток долга после 6-го платежа. Подстановка: B_6 = 300 000*(1,01)^6 - 26 654,64*((1,01)^6 - 1)/0,01. (1,01)^6 примерно 1,06152. Тогда B_6 примерно 318 456 - 26 654,64*6,152 = 318 456 - 163 968 = 154 488 рублей. Ответ: остаток долга около 154 488 рублей. Проверка: остаток меньше начальной суммы, но не равен 300 000 минус шесть платежей, потому что часть платежей покрывала проценты.

Частая ошибка

Частая ошибка - вычитать из кредита всю сумму платежей, не отделяя проценты. В аннуитетном кредите платеж содержит процентную часть и погашение тела долга. Вторая ошибка - использовать годовую ставку как r при ежемесячном платеже. Третья ошибка - путать номер платежа k с числом оставшихся платежей. Еще одна ошибка - применять формулу к графику с досрочными погашениями без корректировки PMT или срока.

Практика

Задачи с решением

Остаток после двух платежей

Условие. PV=100 000, r=1% в месяц, PMT=34 002,21, k=2. Найдите B_2.

Решение. B_2 = 100 000*1,01^2 - 34 002,21*(1,01^2 - 1)/0,01 = 102 010 - 34 002,21*2,01 примерно 33 665,56.

Ответ. примерно 33 665,56 рублей

Нулевая ставка

Условие. PV=60 000, r=0, PMT=10 000, k=4. Найдите остаток.

Решение. При r=0 используем B_k = PV - PMT*k = 60 000 - 10 000*4 = 20 000.

Ответ. 20 000 рублей

Дополнительные источники

OpenStax Principles of Finance, раздел Amortized Loans
Brealey, Myers, Allen. Principles of Corporate Finance, раздел Time Value of Money
Учебная финансовая математика: аннуитеты и амортизация долга

Связанные формулы

Финансы

Коэффициент покрытия долга DSCR

$DSCR=\frac{NOI}{Debt\ Service}$

DSCR показывает, во сколько раз операционный денежный доход покрывает платежи по долгу за тот же период, включая проценты и погашение основного долга.

Финансы

Доходность инвестиции за период

$R=\frac{P_1-P_0+D}{P_0}$

Доходность инвестиции за период показывает, какую долю от начальной стоимости составили изменение цены актива и полученные денежные выплаты за выбранный интервал.

Финансы

Реальная доходность с учетом инфляции

$r_{real}=\frac{1+r_{nom}}{1+\pi}-1$

Реальная доходность показывает, как изменилась покупательная способность результата после поправки номинальной доходности на инфляцию за тот же период.