Аналитика / Прогнозирование

Аддитивный прогноз Хольта — Уинтерса

В аддитивном методе Хольта — Уинтерса сезонный эффект измеряется в единицах наблюдений. Прогноз складывается из уровня, накопленного тренда и поправки для нужной фазы цикла.

Опубликовано: 12 ноября 2026 г.Обновлено: 12 ноября 2026 г.

Формула

\begin{aligned}\ell_t&=\alpha(y_t-s_{t-m})+(1-\alpha)(\ell_{t-1}+b_{t-1}),\\ b_t&=\beta^*(\ell_t-\ell_{t-1})+(1-\beta^*)b_{t-1},\\ s_t&=\gamma(y_t-\ell_{t-1}-b_{t-1})+(1-\gamma)s_{t-m},\\ \hat y_{t+h|t}&=\ell_t+hb_t+s_{t+h-m(k+1)},\quad k=\lfloor(h-1)/m\rfloor.\end{aligned}

Схема Сезонные прибавки и вычеты

На графике три следующие поправки равны −8, +4 и −8. Четвёртая — обновлённая поправка из примера, +13,25. При h=0 показан базовый уровень.

Обозначения

$yₜ$: текущее наблюдение, ед. ряда
$ℓₜ$: уровень без сезонной поправки, ед. ряда
$bₜ$: тренд, ед. ряда за период
$sₜ$: оценка сезонной поправки текущей фазы, ед. ряда
$m$: длина сезона, периоды
h, k: горизонт и число полных циклов до позиции h, периоды, циклы
$α, β*, γ$: веса состояния, —

Условия применения

Нужны регулярные наблюдения, известный период m, начальные состояния и сезонная поправка для каждой фазы. В приведённой параметризации 0≤α,β*≤1 и 0≤γ≤1−α. Горизонт h отсчитывается от последнего наблюдения.

Ограничения

Фиксированные сезонные поправки плохо описывают амплитуду, растущую пропорционально уровню. При сдвиге календарных эффектов между фазами, изменении сезонного периода или скачке среднего состояния модель требует повторной оценки.

Подробное объяснение

Поправка sₜ₋ₘ показывает, сколько единиц ожидаемо добавляет текущая фаза. Чтобы оценить базовое значение наблюдения, её вычитают из yₜ. В сезон повышенного спроса это защищает уровень от скачка, который обычно повторяется каждый год.

Тренд обновляется по изменению двух последовательных уровней. Сезонная поправка обновляется по разности yₜ и прежнего прогноза без сезонности. В варианте с использованием нового уровня перед этим остатком стоит другой вес, связанный с γ множителем 1−α.

Когда нужно спрогнозировать один будущий период, надо найти ту же фазу в последнем известном цикле. Индекс t+h−m(k+1) всегда лежит между t−m+1 и t. Для h=m получается t, а при h=m+1 — t−m+1.

При фиксированном наклоне прогноз для одной и той же фазы через целый цикл изменяется на mbₜ. Разность прогнозов для соседних фаз может резко отличаться от bₜ: к тренду добавляется разность их сезонных поправок. Поэтому сравнивать наклон проще по одинаковым кварталам разных лет.

Как пользоваться формулой

Определите, какая поправка действовала в той же фазе m периодов назад, и вычтите её из наблюдения.
Смешайте очищенное наблюдение с прошлым прогнозом без сезонности и обновите уровень.
Из изменения уровня получите новый наклон, а из ошибки прошлого базового прогноза обновите поправку текущей фазы.
Выберите индекс сезонной фазы из последнего цикла и прибавьте её поправку к прогнозу уровня с трендом.

Историческая справка

Работа Питера Уинтерса 1960 года была посвящена прогнозированию продаж по экспоненциально взвешенным средним. Она развивала идеи Хольта для рядов с сезонностью. В такой задаче сохранение одного тренда не объясняет, почему наблюдение в определённое время года регулярно отклоняется от прогноза базового уровня.

В современной компонентной записи уровень и наклон дополняются набором состояний для фаз цикла. В учебнике Hyndman и Athanasopoulos рассмотрены два способа учёта сезонности. В аддитивном способе поправки имеют ту же размерность, что исходный ряд. Индексация с целой частью явно показывает, как переиспользуются оценённые поправки при горизонте длиннее сезона.

Историческая линия формулы

Сезонное расширение экспоненциального сглаживания связывают с работой Уинтерса 1960 года и предшествующей работой Хольта. Уравнения этой страницы приведены в современной параметризации Hyndman и Athanasopoulos, где γ умножает остаток относительно прежнего базового прогноза.

Пример

Для квартального ряда m=4. До обновления уровень равен 120 единицам, наклон 4 единицам за квартал, а поправка текущей фазы +12. При наблюдении 141 найдём прогноз на четыре квартала при α=β*=0,5 и γ=0,25. Чистое наблюдение равно 141−12=129. Прежний базовый прогноз 120+4=124. Поэтому ℓₜ=(129+124)/2=126,5, а bₜ=((126,5−120)+4)/2=5,25 единицы за квартал. Сезонный остаток относительно прежнего базового прогноза равен 141−124=17. Новая поправка равна 0,25·17+0,75·12=13,25. На горизонте четырёх кварталов повторится эта фаза. Прогноз 126,5+4·5,25+13,25=160,75 единицы. Без сезонности было бы 147,5, разница в точности равна 13,25.

Частая ошибка

Вычитают sₜ₋₁ вместо sₜ₋ₘ и берут другую фазу. Для обновления sₜ вычитают из факта новый уровень, сохраняя прежний γ, хотя параметризация меняется. При h=m+1 выбирают ещё не рассчитанный будущий индекс вместо возврата к началу последнего цикла. Процентную поправку складывают с уровнем без перевода в единицы.

Практика

Задачи с решением

Прогноз через пять кварталов

Условие. Последний уровень 80, тренд 2 ед./квартал, сезонные поправки в порядке будущих фаз −6, 1, 3, 2. Найдите прогноз для h=5.

Решение. Пять шагов дают первую фазу следующего цикла. Подставляем 80+5·2−6=84.

Ответ. 84 единицы.

Пересчитать сезонный остаток

Условие. Старый уровень 65, наклон −1, факт 71, старая поправка +5, γ=0,4. Найдите новую поправку.

Решение. Старый прогноз без сезонности 64, сезонный остаток 71−64=7. Смешиваем 0,4·7+0,6·5=5,8.

Ответ. +5,8 единицы.

Дополнительные источники

https://otexts.com/fpp3/exponential-smoothing.html#methods-with-seasonality
https://doi.org/10.1287/mnsc.6.3.324
https://doi.org/10.1016/j.ijforecast.2003.09.015

Связанные формулы

Аналитика

Линейный прогноз Хольта по уровню и тренду

$\begin{aligned}\ell_t&=\alpha y_t+(1-\alpha)(\ell_{t-1}+b_{t-1}),\\ b_t&=\beta^*(\ell_t-\ell_{t-1})+(1-\beta^*)b_{t-1},\\ \hat y_{t+h|t}&=\ell_t+hb_t.\end{aligned}$

Метод Хольта отдельно сглаживает текущий уровень ряда и скорость его изменения. Прогноз на несколько периодов получается продолжением обновлённого локального тренда.

Аналитика

Прогноз Хольта с затухающим трендом

$\begin{aligned}\ell_t&=\alpha y_t+(1-\alpha)(\ell_{t-1}+\phi b_{t-1}),\\ b_t&=\beta^*(\ell_t-\ell_{t-1})+(1-\beta^*)\phi b_{t-1},\\ \hat y_{t+h|t}&=\ell_t+b_t\sum_{i=1}^h\phi^i.\end{aligned}$

Затухающий тренд Хольта уменьшает вклад каждого следующего шага. Прогноз сначала меняется в сторону наклона, а на больших горизонтах приближается к конечному уровню.

Аналитика

Мультипликативный прогноз Хольта — Уинтерса

$\begin{aligned}\ell_t&=\alpha y_t/s_{t-m}+(1-\alpha)(\ell_{t-1}+b_{t-1}),\\ b_t&=\beta^*(\ell_t-\ell_{t-1})+(1-\beta^*)b_{t-1},\\ s_t&=\gamma y_t/(\ell_{t-1}+b_{t-1})+(1-\gamma)s_{t-m},\\ \hat y_{t+h|t}&=(\ell_t+hb_t)s_{t+h-m(k+1)},\quad k=\lfloor(h-1)/m\rfloor.\end{aligned}$

Мультипликативный метод Хольта — Уинтерса выражает сезонность коэффициентом. Один и тот же сезонный индекс сильнее меняет прогноз, когда уровень ряда выше.

Аналитика

Экспоненциальное сглаживание прогноза

$\hat{y}_{t+1}=\alpha y_t+(1-\alpha)\hat{y}_t$

Экспоненциальное сглаживание обновляет прогноз как смесь последнего факта и прошлого сглаженного уровня. Коэффициент α задает, насколько быстро модель реагирует на свежие изменения ряда.

Аналитика

Сезонный наивный прогноз временного ряда

$\hat y_{t}=y_{t-m}$

Сезонный наивный прогноз временного ряда: формула \hat y_{t}=y_{t-m} помогает величины y, t, m заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.