Аналитика / Прогнозирование

Мультипликативный прогноз Хольта — Уинтерса

Мультипликативный метод Хольта — Уинтерса выражает сезонность коэффициентом. Один и тот же сезонный индекс сильнее меняет прогноз, когда уровень ряда выше.

Опубликовано: 12 ноября 2026 г.Обновлено: 12 ноября 2026 г.

Формула

\begin{aligned}\ell_t&=\alpha y_t/s_{t-m}+(1-\alpha)(\ell_{t-1}+b_{t-1}),\\ b_t&=\beta^*(\ell_t-\ell_{t-1})+(1-\beta^*)b_{t-1},\\ s_t&=\gamma y_t/(\ell_{t-1}+b_{t-1})+(1-\gamma)s_{t-m},\\ \hat y_{t+h|t}&=(\ell_t+hb_t)s_{t+h-m(k+1)},\quad k=\lfloor(h-1)/m\rfloor.\end{aligned}

Схема Сезонность относительно базы

Для следующих трёх фаз взяты 0,9, 1,05 и 0,85. Четвёртый множитель получен в примере. В точке h=0 показан базовый уровень.

Обозначения

$yₜ$: значение ряда, ед. ряда
$ℓₜ$: уровень без сезонного эффекта, ед. ряда
$bₜ$: линейный тренд базы, ед. ряда за период
$sₜ$: сезонный множитель, —
m, h: длина цикла и горизонт, периоды
$k$: целая часть (h−1)/m, циклы
$α, β*, γ$: веса сглаживания, —

Условия применения

Ряд регулярно измеряется, период сезонности известен. Веса лежат в интервале от нуля до единицы. Для делений в обновлении нужны положительные сезонные индексы и положительный базовый прогноз. Начальный уровень и наклон определяют по обучающему отрезку.

Ограничения

Нули и отрицательные значения нарушают интерпретацию сезонного отношения, а знаменатель, близкий к нулю, даёт чрезмерный множитель. Линейное продолжение базы при отрицательном тренде может само стать отрицательным на дальнем горизонте.

Подробное объяснение

Если индекс фазы равен 1,2, прогноз для неё на 20% больше базового уровня. При базовых 200 это прибавка 40, при базовых 300 — 60. Поэтому размах между сильными и слабыми фазами меняется вместе с уровнем.

Новое наблюдение очищают от сезонного эффекта делением на sₜ₋ₘ. Если наблюдение точно совпало с сезонным прогнозом, yₜ/sₜ₋ₘ равно прежнему прогнозу базы. Обновление уровня в этом случае сохраняет одношаговый прогноз в качестве нового уровня.

Отдельно обновляется индекс фазы. В числителе стоит наблюдение, в знаменателе — базовый прогноз, рассчитанный до его поступления. Если отношение больше прежнего индекса и γ положительно, новая оценка этой фазы увеличивается.

Множитель применяется ко всему прогнозу базы, включая вклад тренда на выбранном горизонте. Слово «мультипликативный» относится к сезонности. Сам базовый прогноз ℓₜ+hbₜ по-прежнему линейный по h, и для положительного ряда полезно проверять знак базы на всём горизонте.

Как пользоваться формулой

Разделите наблюдение на старый индекс той же фазы, чтобы выделить значение без сезонного множителя.
С весом α смешайте очищенное наблюдение с прежним базовым прогнозом и получите обновлённый уровень.
Обновите наклон по разности уровней, а индекс текущей фазы по отношению наблюдения к прежней прогнозной базе.
Возьмите множитель нужной фазы из последнего цикла и умножьте на него весь базовый прогноз для горизонта h.

Историческая справка

В статье Forecasting Sales by Exponentially Weighted Moving Averages 1960 года Уинтерс рассматривал обновляемые прогнозы продаж с учётом сезонности. Для показателей продаж полезно различать абсолютный сезонный прирост и изменение, выраженное в долях базового объёма. Сезонный коэффициент делает второй случай явным в формуле.

Hyndman и Athanasopoulos приводят уравнения аддитивной и мультипликативной сезонности рядом. В их современной записи можно отдельно проследить деление на старый сезонный индекс, сглаживание относительного остатка и умножение прогнозной базы на индекс будущей фазы. Различие относится к способу учёта сезона и сохраняется при одинаковом линейном тренде базы.

Историческая линия формулы

Название метода указывает на работы Хольта об экспоненциально взвешенных прогнозах и Уинтерса о прогнозировании продаж с сезонностью. Запись использует компонентные уравнения из учебника Hyndman и Athanasopoulos с обновлением индекса относительно прежней прогнозной базы.

Пример

В квартальном ряду предыдущие уровень и наклон равны 200 единицам и 10 единицам за квартал. Индекс текущей фазы 1,2, факт 264. Найдём прогноз на четыре квартала при α=β*=0,5 и γ=0,25. Прежняя база равна 210. Очищенное наблюдение 264/1,2=220. Новый уровень (220+210)/2=215, новый наклон ((215−200)+10)/2=12,5 единицы за квартал. Обновлённый индекс равен 0,25·(264/210)+0,75·1,2=17/14. Через четыре квартала повторяется текущая фаза. База равна 215+4·12,5=265. Умножаем 265·17/14 и получаем ≈321,79 единицы. Индекс превышает единицу примерно на 21,43%, и прогноз выше базы на ту же долю.

Частая ошибка

Подставляют 120% как число 120 вместо 1,2. При расчёте базового уровня вычитают индекс из наблюдения, хотя единицы этих величин различаются. Используют новый уровень в знаменателе сезонного отношения при уравнении для прежней базы. Подбирают сезонные индексы по будущим данным, которые попадут в проверочный отрезок.

Практика

Задачи с решением

Выбрать фазу для h=6

Условие. ℓₜ=90, bₜ=3 ед./квартал, сезонные индексы по порядку будущих фаз 0,9; 1,1; 1,2; 0,8. Найдите прогноз для h=6.

Решение. Через шесть шагов наступит вторая фаза. База 90+6·3=108, прогноз 108·1,1=118,8.

Ответ. 118,8 единицы.

Уточнить индекс фазы

Условие. Прежняя база 160, факт 144, прежний индекс 1,1 и γ=0,25. Как изменится индекс?

Решение. Текущее отношение равно 144/160=0,9. Новый индекс 0,25·0,9+0,75·1,1=1,05.

Ответ. Снижение с 1,1 до 1,05.

Дополнительные источники

https://otexts.com/fpp3/exponential-smoothing.html#methods-with-seasonality
https://doi.org/10.1287/mnsc.6.3.324

Связанные формулы

Аналитика

Линейный прогноз Хольта по уровню и тренду

$\begin{aligned}\ell_t&=\alpha y_t+(1-\alpha)(\ell_{t-1}+b_{t-1}),\\ b_t&=\beta^*(\ell_t-\ell_{t-1})+(1-\beta^*)b_{t-1},\\ \hat y_{t+h|t}&=\ell_t+hb_t.\end{aligned}$

Метод Хольта отдельно сглаживает текущий уровень ряда и скорость его изменения. Прогноз на несколько периодов получается продолжением обновлённого локального тренда.

Аналитика

Прогноз Хольта с затухающим трендом

$\begin{aligned}\ell_t&=\alpha y_t+(1-\alpha)(\ell_{t-1}+\phi b_{t-1}),\\ b_t&=\beta^*(\ell_t-\ell_{t-1})+(1-\beta^*)\phi b_{t-1},\\ \hat y_{t+h|t}&=\ell_t+b_t\sum_{i=1}^h\phi^i.\end{aligned}$

Затухающий тренд Хольта уменьшает вклад каждого следующего шага. Прогноз сначала меняется в сторону наклона, а на больших горизонтах приближается к конечному уровню.

Аналитика

Аддитивный прогноз Хольта — Уинтерса

$\begin{aligned}\ell_t&=\alpha(y_t-s_{t-m})+(1-\alpha)(\ell_{t-1}+b_{t-1}),\\ b_t&=\beta^*(\ell_t-\ell_{t-1})+(1-\beta^*)b_{t-1},\\ s_t&=\gamma(y_t-\ell_{t-1}-b_{t-1})+(1-\gamma)s_{t-m},\\ \hat y_{t+h|t}&=\ell_t+hb_t+s_{t+h-m(k+1)},\quad k=\lfloor(h-1)/m\rfloor.\end{aligned}$

В аддитивном методе Хольта — Уинтерса сезонный эффект измеряется в единицах наблюдений. Прогноз складывается из уровня, накопленного тренда и поправки для нужной фазы цикла.

Аналитика

Экспоненциальное сглаживание прогноза

$\hat{y}_{t+1}=\alpha y_t+(1-\alpha)\hat{y}_t$

Экспоненциальное сглаживание обновляет прогноз как смесь последнего факта и прошлого сглаженного уровня. Коэффициент α задает, насколько быстро модель реагирует на свежие изменения ряда.

Аналитика

Сезонный наивный прогноз временного ряда

$\hat y_{t}=y_{t-m}$

Сезонный наивный прогноз временного ряда: формула \hat y_{t}=y_{t-m} помогает величины y, t, m заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.