Аналитика / Прогнозирование

Прогноз Хольта с затухающим трендом

Затухающий тренд Хольта уменьшает вклад каждого следующего шага. Прогноз сначала меняется в сторону наклона, а на больших горизонтах приближается к конечному уровню.

Опубликовано: 12 ноября 2026 г.Обновлено: 12 ноября 2026 г.

Формула

\begin{aligned}\ell_t&=\alpha y_t+(1-\alpha)(\ell_{t-1}+\phi b_{t-1}),\\ b_t&=\beta^*(\ell_t-\ell_{t-1})+(1-\beta^*)\phi b_{t-1},\\ \hat y_{t+h|t}&=\ell_t+b_t\sum_{i=1}^h\phi^i.\end{aligned}

Схема Уменьшение прибавок при затухании

При одинаковых начальных 110 и 9 прогноз с φ=0,8 сближается с горизонталью. Линия с φ=1 сохраняет наклон.

Обозначения

$yₜ$: наблюдение, ед. ряда
$ℓₜ$: обновлённый уровень, ед. ряда
$bₜ$: наклон до применения затухания, ед. ряда за период
$φ$: множитель затухания, —
$α, β*$: веса обновления уровня и наклона, —
$h$: горизонт прогноза, периоды
$ŷₜ₊ₕ|ₜ$: точечный прогноз, ед. ряда

Условия применения

Используются равные периоды, известны начальный уровень, наклон и веса сглаживания. Для собственно затухающего тренда выбирают 0<φ<1. Параметр φ участвует и в подгонке состояния, и в построении прогноза.

Ограничения

Предел при h→∞ определяется выбранными состояниями и весами. Он сам по себе ничего не говорит о мощности производства или ёмкости рынка. Если важны сезонные всплески, здесь потребуется отдельная сезонная компонента.

Подробное объяснение

Первый прогнозный шаг добавляет φbₜ. Второй добавляет к уже полученному прогнозу φ²bₜ, третий добавляет φ³bₜ. Так при положительном наклоне прогноз растёт, но его соседние приращения становятся всё меньше. Для отрицательного наклона убывание постепенно замедляется.

Та же поправка используется до появления нового наблюдения. Текущий одношаговый прогноз равен ℓₜ₋₁+φbₜ₋₁, и именно с ним смешивается yₜ. При обновлении наклона прежнее состояние тоже входит после умножения на φ.

Сумма первых h степеней равна φ(1−φʰ)/(1−φ). Если φ меньше единицы, предельный вклад тренда равен φbₜ/(1−φ). В частном случае φ=1 исходная сумма равна h, поэтому можно получить линейный прогноз без деления на ноль.

При фиксированном состоянии φ управляет кривизной траектории. После повторной подгонки модели изменятся также ℓₜ и bₜ, поэтому сравнивать две обученные модели только по значению φ недостаточно. Оцените ошибки на тех горизонтах, которые важны для решения.

Как пользоваться формулой

Ослабьте предыдущий наклон множителем φ и прибавьте его к старому уровню для текущего одношагового прогноза.
Пересчитайте уровень из наблюдения и одношагового прогноза, назначив наблюдению вес α.
Смешайте изменение уровня с ослабленным прошлым наклоном, используя вес β* для изменения.
Сложите степени от φ до φʰ, умножьте сумму на новый наклон и прибавьте результат к новому уровню.

Историческая справка

В 1985 году Эверетт Гарднер и Эд Маккензи опубликовали статью Forecasting Trends in Time Series. Авторы рассматривали практический риск экстраполяции тренда при увеличении горизонта и предложили включить в экспоненциальное сглаживание затухание прогнозных приращений.

В современном компонентном изложении это изменение записывается множителем φ при предыдущем наклоне, а прогноз на несколько шагов раскрывается через геометрическую сумму. Благодаря такой записи можно отдельно увидеть вклад каждого периода и предельный вклад тренда. Учебник Hyndman и Athanasopoulos рассматривает линейный и затухающий тренд рядом, что позволяет сопоставить их одношаговые рекурсии.

Историческая линия формулы

Затухающий вариант связан со статьёй Гарднера и Маккензи 1985 года. Он сохраняет идею раздельного сглаживания уровня и наклона из метода Хольта. Принятая здесь запись компонентных уравнений соответствует современному учебному изложению Hyndman и Athanasopoulos.

Пример

Предыдущий уровень равен 100, наклон равен 10 единиц за месяц, получено значение 112. При α=β*=0,5 и φ=0,8 рассчитаем прогноз на третий месяц. Одношаговый прогноз до обновления был 100+0,8·10=108. Новый уровень (112+108)/2=110. Новый наклон ((110−100)+0,8·10)/2=9 единиц за месяц. Сумма степеней 0,8+0,64+0,512=1,952. Получаем 110+9·1,952=127,568 единицы. Проверка по шагам даёт приращения 7,2, 5,76 и 4,608. Их сумма равна 17,568 единицы, а каждое следующее приращение в 0,8 раза меньше предыдущего.

Частая ошибка

Применяют φ только к последнему шагу и получают ℓₜ+bₜφʰ вместо суммы всех вкладов. В обновлении уровня используют неослабленный старый наклон, смешивая две модели. Округляют каждую степень до целого, что уничтожает малые вклады. Параметр φ оценивают на периодах, предназначенных для проверки прогноза.

Практика

Задачи с решением

Два шага при заданном состоянии

Условие. ℓₜ=40, bₜ=5 и φ=0,6. Найдите прогноз на второй шаг.

Решение. Суммарный множитель 0,6+0,36=0,96. Прибавляем 5·0,96=4,8 к уровню 40.

Ответ. 44,8 единицы.

Предел при отрицательном наклоне

Условие. ℓₜ=80, bₜ=−4, φ=0,75. Найдите предельный прогноз и первое значение.

Решение. Первое значение 80−4·0,75=77. Предел равен 80−4·0,75/(1−0,75)=68.

Ответ. 77 на первом шаге, предел 68.

Дополнительные источники

https://otexts.com/fpp3/exponential-smoothing.html#methods-with-trend
https://doi.org/10.1287/mnsc.31.10.1237

Связанные формулы

Аналитика

Линейный прогноз Хольта по уровню и тренду

$\begin{aligned}\ell_t&=\alpha y_t+(1-\alpha)(\ell_{t-1}+b_{t-1}),\\ b_t&=\beta^*(\ell_t-\ell_{t-1})+(1-\beta^*)b_{t-1},\\ \hat y_{t+h|t}&=\ell_t+hb_t.\end{aligned}$

Метод Хольта отдельно сглаживает текущий уровень ряда и скорость его изменения. Прогноз на несколько периодов получается продолжением обновлённого локального тренда.

Аналитика

Аддитивный прогноз Хольта — Уинтерса

$\begin{aligned}\ell_t&=\alpha(y_t-s_{t-m})+(1-\alpha)(\ell_{t-1}+b_{t-1}),\\ b_t&=\beta^*(\ell_t-\ell_{t-1})+(1-\beta^*)b_{t-1},\\ s_t&=\gamma(y_t-\ell_{t-1}-b_{t-1})+(1-\gamma)s_{t-m},\\ \hat y_{t+h|t}&=\ell_t+hb_t+s_{t+h-m(k+1)},\quad k=\lfloor(h-1)/m\rfloor.\end{aligned}$

В аддитивном методе Хольта — Уинтерса сезонный эффект измеряется в единицах наблюдений. Прогноз складывается из уровня, накопленного тренда и поправки для нужной фазы цикла.

Аналитика

Мультипликативный прогноз Хольта — Уинтерса

$\begin{aligned}\ell_t&=\alpha y_t/s_{t-m}+(1-\alpha)(\ell_{t-1}+b_{t-1}),\\ b_t&=\beta^*(\ell_t-\ell_{t-1})+(1-\beta^*)b_{t-1},\\ s_t&=\gamma y_t/(\ell_{t-1}+b_{t-1})+(1-\gamma)s_{t-m},\\ \hat y_{t+h|t}&=(\ell_t+hb_t)s_{t+h-m(k+1)},\quad k=\lfloor(h-1)/m\rfloor.\end{aligned}$

Мультипликативный метод Хольта — Уинтерса выражает сезонность коэффициентом. Один и тот же сезонный индекс сильнее меняет прогноз, когда уровень ряда выше.

Аналитика

Экспоненциальное сглаживание прогноза

$\hat{y}_{t+1}=\alpha y_t+(1-\alpha)\hat{y}_t$

Экспоненциальное сглаживание обновляет прогноз как смесь последнего факта и прошлого сглаженного уровня. Коэффициент α задает, насколько быстро модель реагирует на свежие изменения ряда.

Аналитика

Сезонный наивный прогноз временного ряда

$\hat y_{t}=y_{t-m}$

Сезонный наивный прогноз временного ряда: формула \hat y_{t}=y_{t-m} помогает величины y, t, m заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.