Линейная алгебра
Собственные значения
Собственные значения матриц и операторов, спектральные критерии и приложения.
2 формулы
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Ортогональная диагонализация симметричной матрицы квадратичной формы | $A=Q\Lambda Q^T, \quad Q^TQ=I, \quad Q=[q_1\dots q_n], \; q(x)=x^T A x=(Q^Tx)^T \Lambda (Q^Tx).$ | Линейная алгебра | Для симметричной A всегда существует ортогональная матрица собственных векторов, которая переводит квадратичную форму в диагональный вид и задаёт главные оси. |
| Экстремумы квадратичной формы на сфере | $\lambda_{\min} \le \frac{x^T A x}{x^T x} \le \lambda_{\max}, \quad A=A^T.$ | Линейная алгебра | На единичной сфере максимум и минимум квадратичной формы достигаются на собственных векторах, соответствующих λ_max и λ_min. |