Физика / Волновая оптика и свет

Частотный межмодовый интервал резонатора Фабри — Перо

Частотный межмодовый интервал резонатора Фабри — Перо равен Δν=c/(2nL) в недиспергирующем приближении. Он задаёт расстояние между соседними продольными резонансами, а не ширину отдельного пика.

Опубликовано: 11 ноября 2026 г.Обновлено: 11 ноября 2026 г.

Формула

\Delta\nu=\frac{c}{2nL}

Схема Частотный интервал и длина резонатора

Δν=c/(2nL) при n=1,5.

Обозначения

$Δν$: частотный интервал между соседними резонансами, Гц
$c$: скорость света в вакууме, примерно 3,00·10⁸, м/с
$n$: показатель преломления среды между зеркалами, —
$L$: геометрическое расстояние между зеркалами, м

Условия применения

Формула относится к плоскому резонатору длиной L с нормальным распространением света и однородным прозрачным заполнением с постоянным показателем n в рассматриваемом диапазоне частот. Резонансное условие для продольных мод имеет вид 2nL=mλ₀, где m — целое число, а λ₀ — вакуумная длина волны. Межмодовый интервал в частоте получается постоянным, когда n можно считать недиспергирующим и зеркала не вносят существенную дополнительную фазовую дисперсию.

Ограничения

При заметной дисперсии n=n(ν) соседние резонансы не разделены ровно на c/(2nL): в знаменателе появляется групповая оптическая длина, и приближённо Δν=c/(2n_gL), где n_g=n+ν dn/dν. При наклонном луче учитывают проекцию волнового вектора на ось резонатора; для поперечных мод и иных геометрий возникают дополнительные частотные сдвиги. FSR не равен ширине резонансного пика: последняя определяется потерями и отражательной способностью зеркал.

Подробное объяснение

Свет многократно проходит между двумя отражающими поверхностями. После полного обхода туда и обратно волна должна вернуться с фазой, совпадающей с самой собой; иначе вклады последовательных проходов взаимно ослабляются. Поэтому условие резонанса задаёт целое число длин волн на двойной длине резонатора.

Для нормального падения оптический путь за один полный обход равен 2nL. Резонанс возникает, когда 2nL=mλ₀. Так как ν=c/λ₀, это условие можно переписать как ν_m=mc/(2nL). Разность между соседними целыми индексами m и m+1 равна c/(2nL), что и есть частотный межмодовый интервал.

Из формулы видно, что длинный резонатор имеет более плотные моды, а увеличение показателя преломления уменьшает их интервал при фиксированной геометрической длине. Размерность c/L равна (м/с)/м=с⁻¹, то есть герцам. В недиспергирующем приближении Δν не зависит от номера моды.

Например, резонатор длиной 10 см с воздухом имеет FSR около 1,5 ГГц. Это расстояние между соседними продольными резонансами, а не частотная ширина каждого пика. В спектре с несколькими продольными модами именно FSR задаёт характерный шаг между соседними линиями.

Для диспергирующей среды важна производная фазы по частоте, а не значение фазовой скорости в одной точке. Дифференцирование условия 2n(ν)Lν/c=m приводит к групповому показателю n_g=n+ν dn/dν. Если эта производная почти постоянна между соседними резонансами, интервал приближённо равен c/(2n_gL); подстановка фазового n в такой ситуации систематически смещает оценку.

Как пользоваться формулой

Проверьте геометрию: в резонансном условии свет должен проходить вдоль оси между двумя зеркалами на расстоянии L.
Установите, можно ли считать среду недиспергирующей и однородной на интересующем участке спектра.
Переведите длину резонатора в метры и подставьте показатель заполнения n и скорость света c.
Вычислите Δν=c/(2nL); герцы получаются автоматически при c в м/с и L в метрах.
Сопоставьте найденный межмодовый шаг с шириной пика отдельно: finesse определяет, насколько уже резонансная линия относительно FSR.

Историческая справка

Исторически интерферометры с многократными отражениями развивали для спектроскопии и точных измерений. Шарль Фабри и Альфред Перо описали свой вариант параллельнопластинчатого интерферометра в публикации 1899 года, стремясь получать узкие интерференционные полосы и исследовать структуру спектральных линий. Многолучевая интерференция сделала прибор полезным спектральным эталоном.

В XX веке резонатор Фабри — Перо стал стандартной частью лазерной физики и оптической метрологии. Продольные моды следуют из условия воспроизводства фазы после полного обхода; частоты, удовлетворяющие ему, образуют почти равномерную сетку в узком диапазоне при малой дисперсии.

Термин free spectral range закрепился за интервалом повторения резонансной структуры. В диспергирующей среде этот интервал связан с временем обхода импульса, то есть с групповой скоростью, а не только с фазовой длиной пути. Поэтому локальная оценка учитывает групповой показатель и частотную зависимость фаз отражения от покрытий. Простое выражение c/(2nL) остаётся базовой недиспергирующей моделью.

Историческая линия формулы

Интерферометр Фабри — Перо связан с работами Шарля Фабри и Альфреда Перо конца XIX века; их статья о применении интерференции к спектроскопии вышла в 1899 году. Формула частотного шага следует из резонансного условия полного обхода, а не является результатом, который следует приписывать только одному изобретателю.

Пример

Плоский резонатор Фабри — Перо заполнен воздухом с n≈1,00, расстояние между зеркалами L=10,0 см. Найдите частотный интервал соседних продольных мод. Дано: c=3,00·10⁸ м/с, n=1,00, L=0,100 м. Найти Δν. Δν=c/(2nL)=3,00·10⁸/(2·1,00·0,100)=1,50·10⁹ Гц. Проверка единиц: м/с делим на м, получаем с⁻¹=Гц. Удвоение L уменьшило бы интервал вдвое, как следует из обратной пропорциональности. Ответ: соседние моды разделены примерно на 1,50 ГГц. Для такого резонатора соседним частотам соответствует увеличение целого номера m на единицу. Отражательная способность зеркал влияет на ширину и высоту пиков, но в этой идеальной модели не меняет их основной период по частоте.

Частая ошибка

Путают частотный FSR с шириной отдельного резонансного пика. FSR задаёт расстояние между соседними максимумами; ширина пика зависит от finesse и потерь. Берут λ внутри среды, а затем ещё раз умножают знаменатель на n. В формуле через частоту используется показатель n и вакуумная скорость c; не следует повторно учитывать сокращение длины волны. Считают, что один проход света даёт условие nL=mλ₀. Резонансная фаза набирается за полный ход туда и обратно, поэтому появляется 2L. Применяют фазовый показатель n вместо группового при заметной дисперсии. Для локального интервала соседних мод нужно учитывать n_g, а также фазовую дисперсию зеркал, если она существенна.

Практика

Задачи с решением

Интервал в стеклянном резонаторе

Условие. Резонатор длиной 5,0 см заполнен однородной средой с n=1,50. Найдите частотный интервал соседних продольных мод.

Решение. Δν=3,00·10⁸/(2·1,50·0,050)=2,00·10⁹ Гц. Проверка: оптическая длина двойного хода равна 0,150 м, а c/0,150 м=2,00 ГГц.

Ответ. Ответ: 2,00 ГГц.

Длина по измеренному интервалу

Условие. В газовой ячейке n=1,00 измерили межмодовый интервал 750 МГц. Оцените расстояние между зеркалами.

Решение. L=c/(2nΔν)=3,00·10⁸/(2·1,00·7,50·10⁸)=0,200 м. Проверка обратной подстановкой: c/(2L)=750·10⁶ Гц.

Ответ. Ответ: L≈20,0 см.

Дополнительные источники

https://www.persee.fr/doc/bastr_0572-7405_1899_num_16_1_11401
https://web.mit.edu/2.710/Fall06/2.710-wk8-a-ho.pdf
https://www.rp-photonics.com/fabry_perot_interferometers.html

Связанные формулы

Физика

Условие максимума

$\Delta=m\lambda$

Интерференционный максимум возникает, когда разность хода равна целому числу длин волн: Delta = m lambda. Тогда колебания усиливают друг друга.

Физика

Условие минимума

$\Delta=\left(m+\frac12\right)\lambda$

Интерференционный минимум возникает, когда разность хода равна полуцелому числу длин волн: Delta = (m + 1/2) lambda. Волны взаимно ослабляются.

Физика

Монохроматический свет

$c=\lambda\nu$

Для монохроматического света частота и длина волны связаны скоростью распространения: c = lambda nu в вакууме или v = lambda nu в среде.