Все формулы РФ

Инженерия / Статика и сопротивление материалов

Относительная деформация

Относительная деформация показывает, насколько меняется длина элемента по отношению к первоначальной длине.

Опубликовано: Обновлено:

Статика и сопротивление материаловМеханикаКалькуляторШкольная программаЕсть историческая справка

Формула

$$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$
Диаграмма Изменение длины стержня

Показаны исходная длина, деформированная длина и разница ΔL.

Относительная деформация удобна для расчета в линейной зоне.

Обозначения

$\varepsilon$
Относительная деформация (безразмерная), 1 (безразмерная)
$\Delta L$
Изменение длины, м (СИ)
$L_0$
Исходная длина элемента, м (СИ)

Условия применения

  • Деформации малы (упругая зона).
  • Длина измеряется по нейтральной оси для стержня малых размеров.
  • Размерность согласована в СИ.

Ограничения

  • Для больших деформаций нужна нелинейная или пластическая модель.
  • При температурном эффекте формула сама по себе неполна.
  • Локальные неровности и контакты могут увеличивать местную деформацию.

Подробное объяснение

Это безразмерная величина, удобная для сравнения материалов разного масштаба. В линейной зоне она напрямую связана с напряжением через модуль Юнга.

Как пользоваться формулой

  1. Измерьте исходную длину L₀.
  2. Определите изменение длины ΔL под нагрузкой.
  3. Поделите ΔL на L₀.
  4. Используйте результат для проверки прочностных критериев и допускаемых деформаций.
  5. При линейной зоне свяжите с нормальным напряжением.

Историческая справка

Идея безразмерной деформации естественна для материаловедения: она позволяет отделять геометрию элемента от прочностных свойств. В инженерной терминологии формула закрепилась вместе с законом Гука.

Историческая линия формулы

Формула получила широкое распространение в практических методиках сопротивления материалов на рубеже XIX–XX веков и осталась стандартом до появления компьютерных нелинейных модулей.

Пример

Стержень длиной 2 м укоротился на 0,5 мм после нагрузки: ε = 0,0005 / 2000 мм = 2,5·10^-7.

Частая ошибка

Главная ошибка — подставлять в числитель абсолютную, а не изменение длины. Также часто забывают перевести мм в м, если сравнивают с модулем упругости.

Практика

Задачи с решением

Сжатие стержня

Условие. L₀ = 1,2 м, ΔL = 0,3 мм.

Решение. \Delta L = 0,3 мм = 3\times10^{-4} м, ε = 3\times10^{-4} / 1{,}2 = 2{,}5\times10^{-4}.

Ответ. ε = 2{,}5·10^-4.

Эластическое удлинение

Условие. L₀ = 2,5 м, ε = 1,6·10^-3. Найдите ΔL.

Решение. ΔL = ε·L₀ = 1{,}6\times10^{-3}\cdot2{,}5 = 4\times10^{-3} м.

Ответ. ΔL = 4 мм.

Дополнительные источники

  • Hibbeler, Mechanics of Materials, 10th ed., Pearson
  • Gere, Jr. and Goodno, Mechanics of Materials, Cengage
  • NIST, Handbook 44 - Units and conversions (SI consistency)

Связанные формулы

Инженерия

Модуль Юнга

$E = \frac{\sigma}{\varepsilon}$

Модуль Юнга — коэффициент пропорциональности между нормальным напряжением и относительной деформацией в линейной упругой области.

Инженерия

Закон Гука для стержня

$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$

В пределах упругой области удлинение стержня пропорционально нагрузке, длине и обратно пропорционально площади сечения и модулю Юнга.

Инженерия

Нормальное напряжение

$\sigma = \frac{F}{A}$

Нормальное напряжение показывает, как нормальная сила распределяется по площади поперечного сечения.