Все формулы РФ

Инженерия / Статика и сопротивление материалов

Закон Гука для стержня

В пределах упругой области удлинение стержня пропорционально нагрузке, длине и обратно пропорционально площади сечения и модулю Юнга.

Опубликовано: Обновлено:

Статика и сопротивление материаловМеханикаКалькуляторШкольная программаЕсть историческая справка

Формула

$$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$$
Графика Осевой стержень под нагрузкой

Схема показывает изменение длины стержня под растягивающей силой и направление деформации.

Простая пропорциональность ΔL зависит от F, L₀, A и E.

Обозначения

$\Delta L$
Удлинение стержня, м (СИ)
$F$
Осевая сила, Н (СИ)
$L_0$
Исходная длина, м (СИ)
$A$
Площадь сечения, м² (СИ)
$E$
Модуль Юнга, Па (СИ)

Условия применения

  • Материал работает в линейно-упругой области.
  • Температура постоянна или эффект температуры учитывается отдельно.
  • Деформация мала, геометрия почти неизменна.

Ограничения

  • После предела текучести формула неприменима.
  • Не учитывает релаксацию и ползучесть.
  • Для неоднородных стержней требуется интегральный учет по длине.

Подробное объяснение

Выражение следует из двух базовых отношений: σ = F/A и ε = ΔL/L₀, а в линейной зоне ε = σ/E. Подстановка дает прямую формулу для ΔL.

Как пользоваться формулой

  1. Сведите задачу к осевой нагрузке одного сечения.
  2. Переведите все параметры в СИ.
  3. Подставьте в формулу ΔL = F L₀/(AE).
  4. Проверьте, что полученное ΔL укладывается в допустимые деформации.
  5. При выходе за пределы упругости используйте усиленный расчет.

Историческая справка

Закон Гука сформулировали в эпоху становления молекулярных моделей твердых тел как линейную зависимость до границы упругости и с тех пор применяют как базовый расчетный блок.

Пример

Для L₀=1 м, A=500 мм², E=2·10^11 Па, F=10 кН: ΔL = 10000·1 / (5·10^-4·2·10^11)=1,0·10^-4 м = 0,1 мм.

Частая ошибка

Частая ошибка — использовать площадь в мм² и модуль в ГПа без перевода. Также путают направление: сжатие дает отрицательное ΔL в знаковой схеме.

Практика

Задачи с решением

Удлинение арматуры

Условие. L₀=2 м, A=200 мм², E=210 ГПа, F=12 кН.

Решение. A=2·10^-4 м², E=2,10·10^11 Па, ΔL=12000·2/(2·10^-4·2,10·10^11)=5,71·10^-4 м.

Ответ. ΔL ≈ 0,000571 м = 0,571 мм.

Поиск силы

Условие. L₀=0,8 м, ΔL=0,12 мм, A=100 мм², E=70 ГПа. Найдите F.

Решение. F=\Delta L\,A E/L_0 = 1,2·10^{-4}·1·10^{-4}·70·10^9 /0,8 = 1,05·10^3 Н.

Ответ. F = 1,05 кН.

Дополнительные источники

  • Hibbeler, Mechanics of Materials, 10th ed., Pearson
  • Beer, Johnston, Mazurek, Mechanics of Materials, McGraw-Hill
  • Callister, Materials Science and Engineering, Wiley

Связанные формулы

Инженерия

Модуль Юнга

$E = \frac{\sigma}{\varepsilon}$

Модуль Юнга — коэффициент пропорциональности между нормальным напряжением и относительной деформацией в линейной упругой области.

Инженерия

Относительная деформация

$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$

Относительная деформация показывает, насколько меняется длина элемента по отношению к первоначальной длине.

Инженерия

Нормальное напряжение

$\sigma = \frac{F}{A}$

Нормальное напряжение показывает, как нормальная сила распределяется по площади поперечного сечения.