Все формулы РФ

Физика / Электричество

Параллельное соединение сопротивлений в 8 классе

При параллельном соединении обратная величина общего сопротивления равна сумме обратных сопротивлений ветвей, потому что ток делится между несколькими путями.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаФормулы по физике за 8 классЭлектричествоПостоянный ток и электрические цепиШкольные формулы по физикеКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\dots+\frac{1}{R_n}$$
Схема разветвленной цепи Несколько путей для тока

Три резистора показаны в параллельных ветвях между двумя общими узлами; ток делится перед ветвями и складывается после них.

Чем больше параллельных путей, тем меньше эквивалентное сопротивление.

Обозначения

$R$
эквивалентное сопротивление параллельного участка, Ом
$R_1, R_2, \dots, R_n$
сопротивления отдельных параллельных ветвей, Ом
$n$
число параллельных ветвей

Условия применения

  • Все сопротивления подключены к одной и той же паре узлов, поэтому напряжение на них одинаковое.
  • Ток в узле делится по ветвям, а затем снова складывается.
  • Сопротивления ветвей заданы для того же режима работы, в котором рассматривается цепь.

Ограничения

  • Формула не применяется к последовательному соединению, где ток не делится.
  • Для сложных смешанных схем сначала выделяют простые параллельные и последовательные участки.
  • Нельзя просто складывать сопротивления ветвей: это дает результат, противоположный физическому смыслу параллельного соединения.

Подробное объяснение

Параллельное соединение дает току несколько путей между одними и теми же точками цепи. Напряжение на каждой ветви одинаково, а общий ток равен сумме токов в ветвях. Именно из этого и получается сумма обратных сопротивлений.

По закону Ома ток в каждой ветви равен I_i = U/R_i. Если сложить токи, получится I = U/R1 + U/R2 + ... . Для эквивалентного сопротивления I = U/R. Деление на одинаковое U дает формулу для 1/R.

Физический смысл результата важнее запоминания дробей. Добавление новой параллельной ветви увеличивает общий ток при том же напряжении, значит эквивалентное сопротивление уменьшается. Поэтому оно всегда меньше самого малого сопротивления ветви.

В быту параллельное соединение удобно тем, что приборы получают одно и то же напряжение и могут работать независимо. Если одна лампа выключена, другая ветвь может оставаться подключенной.

В задачах со смешанными цепями параллельные участки часто заменяют эквивалентным сопротивлением, а затем уже складывают с последовательными элементами. Ошибка в первом шаге портит весь расчет.

Как пользоваться формулой

  1. Найдите ветви, подключенные к одной паре узлов.
  2. Запишите сопротивления всех параллельных ветвей.
  3. Сложите обратные сопротивления 1/R_i.
  4. Переверните полученную величину, чтобы найти R.
  5. Проверьте, что R меньше самого малого сопротивления ветви.

Историческая справка

Правило параллельного соединения возникло в практике расчета электрических цепей после утверждения закона Ома. В XIX веке инженерам и экспериментаторам нужно было понимать, как ток распределяется в разветвленных цепях телеграфа, лабораторных приборов и осветительных установок. Формула через обратные сопротивления стала естественным следствием одинакового напряжения на ветвях и сложения токов в узлах. Позже эти идеи вошли в законы Кирхгофа, которые позволяют рассчитывать гораздо более сложные схемы. В школьном курсе параллельное соединение показывает новый тип рассуждения: вместо одного пути появляется несколько путей, поэтому сопротивление уменьшается, хотя элементов становится больше.

Историческая линия формулы

Школьное правило параллельных сопротивлений является следствием закона Ома и узлового правила для тока. Его не связывают с одним автором; исторически оно относится к развитию электрических измерений и теории цепей XIX века.

Пример

Два резистора 6 Ом и 3 Ом соединены параллельно. Найдем общее сопротивление: 1/R = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2, значит R = 2 Ом. Если участок подключен к 12 В, ток в первой ветви I1 = 12/6 = 2 А, во второй I2 = 12/3 = 4 А, общий ток I = 6 А. По закону Ома для всего участка R = U/I = 12/6 = 2 Ом, что совпадает с расчетом. Проверка по смыслу: общее сопротивление меньше 3 Ом, потому что появился дополнительный путь для тока. В такой проверке хорошо видно, что напряжение на ветвях одинаковое, а токи разные: меньшему сопротивлению соответствует больший ток, поэтому ветви нельзя заменять обычным сложением сопротивлений.

Частая ошибка

Частая ошибка - писать R = R1 + R2 для параллельных ветвей. На самом деле такой результат был бы больше, хотя параллельное соединение должно облегчать прохождение тока. Вторая ошибка - складывать напряжения по ветвям; напряжение на параллельных элементах одинаково. Третья ошибка - после нахождения 1/R забыть перевернуть дробь. Еще одна ошибка - применять короткую формулу R = R1R2/(R1 + R2) к трем и более резисторам без преобразования.

Практика

Задачи с решением

Два резистора

Условие. Резисторы 4 Ом и 12 Ом соединены параллельно. Найдите общее сопротивление.

Решение. 1/R = 1/4 + 1/12 = 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3. Значит R = 3 Ом.

Ответ. 3 Ом

Одинаковые ветви

Условие. Три резистора по 9 Ом соединены параллельно. Найдите эквивалентное сопротивление.

Решение. Для трех одинаковых параллельных сопротивлений R = R0/3 = 9/3 = 3 Ом.

Ответ. 3 Ом

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax College Physics 2e, раздел Resistors in Series and Parallel
  • Gustav Kirchhoff, Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, 1845

Связанные формулы