Все формулы РФ

Физика / Электричество

Сопротивление проводника через удельное сопротивление

Сопротивление однородного проводника равно произведению удельного сопротивления вещества на длину проводника, деленному на площадь поперечного сечения.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаФормулы по физике за 8 классЭлектричествоПостоянный ток и электрические цепиШкольные формулы по физикеКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$R=\rho\frac{l}{S}$$
Схема проводника Длина и площадь сечения

Проводник показан как цилиндр: вдоль него отмечена длина l, на торце выделена площадь S, а рядом указано вещество с удельным сопротивлением \rho.

Длинный и тонкий провод имеет большее сопротивление.

Обозначения

$R$
электрическое сопротивление проводника, Ом
$\rho$
удельное сопротивление вещества проводника, Ом*м
$l$
длина проводника, м
$S$
площадь поперечного сечения, м^2

Условия применения

  • Проводник однороден по материалу и имеет одинаковое поперечное сечение на всей длине.
  • Температура считается постоянной, потому что удельное сопротивление зависит от температуры.
  • Длина и площадь сечения выражены в согласованных единицах СИ.

Ограничения

  • Формула не подходит для сложных деталей с переменным сечением без разбиения на участки.
  • Для полупроводников, электролитов и нагретых спиралей сопротивление может заметно меняться с температурой.
  • Если площадь дана в мм^2, ее нужно перевести в м^2 или использовать согласованную табличную единицу для \rho.

Подробное объяснение

Сопротивление проводника зависит от того, насколько материал мешает движению зарядов, и от геометрии проводника. Удельное сопротивление \rho описывает материал, длина l задает протяженность пути, а площадь S показывает, насколько широким является этот путь для тока.

Если проводник сделать длиннее, зарядам придется проходить больший участок вещества, поэтому сопротивление увеличится пропорционально l. Если сделать провод толще, появится больше параллельных путей для носителей заряда, поэтому сопротивление уменьшится обратно пропорционально S.

Формула хорошо объясняет назначение разных материалов. Медь и алюминий выбирают для проводов из-за малого удельного сопротивления, а нихром применяют в нагревательных спиралях, потому что он дает заметное сопротивление даже при небольшой длине.

В задачах важно следить за размерностью площади. Миллиметр в квадрате - это не тысячная, а миллионная доля квадратного метра. Поэтому запись сечения провода часто является главным местом, где возникает ошибка.

Эта формула соединяется с законом Ома: после нахождения R можно рассчитать ток при заданном напряжении или мощность нагревания. Так геометрия проводника превращается в электрические характеристики цепи.

Как пользоваться формулой

  1. Определите материал проводника и возьмите его удельное сопротивление.
  2. Переведите длину в метры, а площадь сечения в квадратные метры.
  3. Убедитесь, что проводник можно считать однородным.
  4. Подставьте значения в R = \rho l/S.
  5. Проверьте результат через смысл: длиннее значит больше R, толще значит меньше R.

Историческая справка

Связь сопротивления с длиной, сечением и материалом стала понятной в XIX веке при развитии электрических измерений и телеграфии. Георг Ом сформулировал закон, связывающий ток, напряжение и сопротивление, а последующие опыты позволили разделить вклад геометрии и вещества проводника. Понятие удельного сопротивления стало удобным для сравнения материалов и проектирования проводов. В промышленности эта идея быстро оказалась практической: нужно было выбирать металл, толщину и длину проводников для надежной передачи электричества. В школьном курсе формула R = \rho l/S показывает, что сопротивление не является таинственным свойством детали, а складывается из материала и формы.

Пример

Нихромовая проволока длиной 2 м имеет площадь сечения 0,5 мм^2. Удельное сопротивление нихрома примем \rho = 1,1*10^-6 Ом*м. Переведем площадь: 0,5 мм^2 = 0,5*10^-6 м^2. Тогда R = \rho l/S = 1,1*10^-6 * 2 / (0,5*10^-6) = 4,4 Ом. Проверка единиц: Ом*м умножается на м и делится на м^2, остается Ом. Результат разумен: проволока довольно длинная и тонкая, а нихром имеет большое удельное сопротивление, поэтому сопротивление получается заметным. Если взять такую же медную проволоку, сопротивление было бы значительно меньше.

Частая ошибка

Частая ошибка - не переводить квадратные миллиметры в квадратные метры. Из-за квадрата единицы ошибка получается очень большой. Вторая ошибка - думать, что сопротивление зависит только от материала: длина и сечение не менее важны. Третья ошибка - увеличивать S и ожидать роста R, хотя толстый провод сопротивляется току меньше. Еще одна ошибка - применять формулу к горячей спирали без учета изменения \rho с температурой.

Практика

Задачи с решением

Сопротивление проволоки

Условие. Провод длиной 5 м имеет \rho = 2,0*10^-7 Ом*м и S = 1,0*10^-6 м^2. Найдите R.

Решение. R = \rho l/S = 2,0*10^-7 * 5 / 1,0*10^-6 = 1 Ом.

Ответ. 1 Ом

Влияние длины

Условие. Сопротивление 3 м провода равно 6 Ом. Каким будет сопротивление 6 м такого же провода?

Решение. При том же материале и сечении R пропорционально l. Длина выросла в 2 раза, значит R = 12 Ом.

Ответ. 12 Ом

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax College Physics 2e, раздел Resistance and Resistivity
  • Georg Simon Ohm, Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet, 1827

Связанные формулы

Физика

Параллельное соединение сопротивлений в 8 классе

$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\dots+\frac{1}{R_n}$

При параллельном соединении обратная величина общего сопротивления равна сумме обратных сопротивлений ветвей, потому что ток делится между несколькими путями.