Математика / Вероятность и статистика

Экспоненциальное распределение: вероятность времени ожидания

Экспоненциальная модель даёт вероятность ждать событие дольше t при постоянной интенсивности λ. В отличие от счёта событий по Пуассону, случайной величиной здесь служит непрерывное время до ближайшего события.

Опубликовано: 18 октября 2026 г.Обновлено: 18 октября 2026 г.

Теория вероятностей и математическая статистика Страницы с задачами и решениями Есть историческая справка Алгебра

Формула

P(T>t)=e^{-\lambda t}

График Вероятность ждать дольше t

На отметке t = 6 минут вероятность примерно 0,223.

Обозначения

$T$: случайное время ожидания, с или другая единица времени
$t$: заданный порог ожидания, та же единица времени
$λ$: постоянная интенсивность событий, обратная единица времени
$P(T>t)$: вероятность превышения порога, безразмерная величина
$e$: основание натурального логарифма, безразмерная величина

Условия применения

Время неотрицательно, интенсивность λ постоянна и положительна. Для интерпретации через поток предполагаются независимые приращения и стационарный пуассоновский режим. Единица λ должна быть обратной единице t, чтобы произведение λt в показателе экспоненты не имело размерности.

Ограничения

Распределение не описывает обязательный минимальный срок, старение или циклическое расписание без изменения модели. Среднее 1/λ не является гарантированным временем наступления события. В справочниках параметром иногда служит масштаб β=1/λ; подстановка масштаба вместо интенсивности меняет результат.

Подробное объяснение

Событие T>t означает, что до момента t не произошло ни одного события. Для пуассоновского потока среднее число событий за это время равно λt. Вероятность нулевого счёта и даёт экспоненту с отрицательным показателем. Это связывает модель времени ожидания с моделью числа событий.

При t=0 вероятность превышения равна единице: непрерывное ожидание положительно почти наверное. По мере увеличения t вероятность убывает к нулю. Вероятность дождаться события не позднее t равна дополнению 1−e в степени −λt, а не самой экспоненте.

Среднее ожидание равно 1/λ. Если интенсивность удваивается, характерное время сокращается вдвое. Но среднее не делит распределение пополам: медиана равна ln(2)/λ и меньше среднего из-за длинного правого хвоста возможных ожиданий.

Отсутствие памяти выражается равенством вероятностей дальнейшего ожидания: после уже прошедшего времени шанс ждать ещё больше s такой же, как в начале. Это следует из деления экспонент для t+s и t. Свойство требует постоянной интенсивности и не переносится автоматически на очереди с расписанием.

Значение плотности λe в степени −λt не равно вероятности точного момента. Для непрерывной величины вероятность одной точки нулевая; вероятность временного окна получают разностью значений функции распределения или интегралом плотности по этому окну.

Как пользоваться формулой

Определите, требуется ли превышение времени t или наступление события не позднее указанного порога.
Приведите интенсивность и время к согласованным единицам, чтобы произведение λt стало безразмерным.
Для превышения вычислите экспоненту с показателем −λt; для наступления вычтите её из единицы.
Сравните порог со средним 1/λ и проверьте, что увеличение времени уменьшает вероятность превышения.

Историческая справка

Экспоненциальный закон входит в современную теорию случайных потоков и связан с пуассоновским счётом событий через вероятность пустого интервала. В прикладной математике XX века модели ожидания получили широкое применение в теории очередей и надёжности. Современные справочники различают параметр интенсивности и обратный ему масштаб, поэтому одна и та же модель может выглядеть как exp(−λt) или exp(−t/β). В NIST используется масштабная запись, а в изложениях через поток особенно удобна интенсивность. Здесь не устанавливается единственный изобретатель экспоненциального распределения: математическая функция, теория потоков и конкретные инженерные приложения имеют собственную историю. Существенная идея этой страницы — связь нулевого числа событий и времени до первого события, а не приписывание всех приложений одному имени.

Историческая линия формулы

Название указывает на экспоненциальный вид вероятности превышения. Модель времени ожидания относится к теории случайных процессов; её связь с пуассоновским потоком не означает, что все варианты параметризации и приложения к очередям предложены самим Пуассоном.

Пример

В модели независимых поступлений интенсивность равна 0,25 события в минуту. Найдём вероятность ждать ближайшее событие больше шести минут. Дано λ=0,25 мин⁻¹ и t=6 мин, поэтому λt=1,5. Подстановка даёт P(T>6)=exp(−1,5)≈0,223130. Ответ: около 22,31%. Вероятность дождаться события за шесть минут равна 1−0,223130≈0,776870, то есть 77,69%. Среднее время ожидания равно четырём минутам; порог шесть минут больше среднего, но длительные ожидания остаются возможны. Проверка единиц: мин⁻¹ умножается на минуты и сокращается, поэтому экспонента вычисляется от безразмерного числа.

Частая ошибка

Не путайте вероятность превышения e⁻λt с вероятностью наступления 1−e⁻λt. Не подставляйте среднее время на место интенсивности. Не перемножайте λ в час⁻¹ с t в минутах без перевода. Не считайте отсутствие памяти свойством любого ожидания: для расписания или меняющейся интенсивности оно обычно неверно.

Практика

Задачи с решением

За две минуты

Условие. Интенсивность 0,5 мин⁻¹. Найдите вероятность дождаться события не позднее двух минут.

Решение. Произведение λt=1. Вероятность наступления 1−e⁻¹≈0,632121.

Ответ. Около 63,21%

Медиана ожидания

Условие. Интенсивность 2 ч⁻¹. Найдите время, которое превышает половина ожиданий.

Решение. Решаем e⁻²ᵗ=1/2: t=ln(2)/2≈0,346574 ч. Умножаем на 60: около 20,7944 мин.

Ответ. Около 20,79 минуты

Дополнительные источники

https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3667.htm
https://www.statlect.com/probability-distributions/exponential-distribution

Связанные формулы

Математика

Распределение Пуассона: вероятность числа событий

$P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$

Распределение Пуассона даёт вероятность ровно k событий на фиксированном интервале, если известно их среднее число λ. Модель применяют к независимому потоку с постоянной интенсивностью.

Математика

Плотность нормального распределения

$f(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

Формула «Плотность нормального распределения» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Геометрическое распределение: номер первого успеха

$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$

Геометрическое распределение описывает число независимых попыток до первого успеха включительно. Вероятность успеха p остаётся одинаковой в каждой попытке, а предшествующие попытки заканчиваются неудачей.