Все формулы РФ

Математика / Вероятность и статистика

Распределение Пуассона: вероятность числа событий

Распределение Пуассона даёт вероятность ровно k событий на фиксированном интервале, если известно их среднее число λ. Модель применяют к независимому потоку с постоянной интенсивностью.

Опубликовано: Обновлено:

Теория вероятностей и математическая статистикаСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаАлгебра

Формула

$$P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$$
Схема Число заявок при λ = 2
Число заявок при λ = 2Число заявок при λ = 2kP(X = k)00,13533510,27067120,27067130,18044740,090224Это вероятности ровно k событий

Показан фрагмент распределения; события с k > 4 также возможны.

Обозначения

$X$
случайное число событий, безразмерная величина
$k$
заданное целое число событий, безразмерная величина
$λ$
среднее число событий на выбранном интервале, безразмерная величина
$P(X=k)$
вероятность указанного числа событий, безразмерная величина
$e$
основание натурального логарифма, безразмерная величина

Условия применения

Параметр λ положителен и относится именно к рассматриваемому интервалу. Для пуассоновского потока числа событий на непересекающихся интервалах независимы, интенсивность постоянна, а вероятность двух и более событий на очень коротком интервале мала по сравнению с его длиной.

Ограничения

Одинаковое среднее число событий ещё не доказывает пригодность модели. Пакетные поступления, зависимость соседних событий и суточные колебания интенсивности нарушают предпосылки. Число событий может быть любым неотрицательным целым; дробное k в эту формулу не подставляют.

Подробное объяснение

Случайная величина X считает события, а не время ожидания. Параметр λ объединяет интенсивность потока и длину интервала: при интенсивности два события в минуту для трёх минут среднее число равно шести. Сам параметр в формуле вероятности безразмерен.

Множитель e в степени −λ обеспечивает нормировку: сумма вероятностей по всем целым k от нуля до бесконечности равна единице благодаря ряду экспоненты. Факториал k! уменьшает вклад больших k, поэтому вероятность не растёт бесконечно вместе со степенью λ.

Вероятность пустого интервала получается без отдельного правила: при k=0 используются λ⁰=1 и 0!=1, так что остаётся e в степени −λ. Вероятность хотя бы одного события удобнее найти как дополнение этого результата до единицы, а не складывать бесконечно много слагаемых.

Если интересует ровно k событий, берут одно слагаемое. Для события «не более k» складывают вероятности от нуля до k. Увеличение λ сдвигает основную массу распределения к большим числам, но не делает все отдельные вероятности больше.

Проверка по данным включает сравнение среднего и дисперсии: в идеальной пуассоновской модели они равны λ. Заметное расхождение может указывать на смешение разных режимов потока. Это диагностический ориентир, а не доказательство модели на маленькой выборке.

Как пользоваться формулой

  1. Задайте интервал наблюдения и пересчитайте интенсивность в среднее число событий именно за этот интервал.
  2. Убедитесь, что требуется ровно k событий, а не сумма вероятностей для нескольких значений счётчика.
  3. Вычислите степень λ и факториал k, учитывая соглашение 0!=1 для вероятности пустого интервала.
  4. Умножьте отношение на экспоненту и проверьте, что ответ находится между нулём и единицей.

Историческая справка

Название распределения связано с Симеоном Дени Пуассоном и развитием теории вероятностей в XIX веке. Его книга о вероятностях судебных решений вышла в 1837 году. Исторический контекст этой работы гораздо шире современной задачи подсчёта заявок: исследователи искали закономерности массовых случайных явлений и уточняли результаты предшественников. В современной записи параметр λ удобно понимать как среднее число событий, а закон рассматривают и самостоятельно, и как предельную модель биномиального счёта при большом числе редких независимых испытаний. Справочник NIST приводит распределение среди стандартных дискретных моделей. Современное применение к очередям или дефектам не означает, что Пуассон исследовал именно эти технические системы: это последующее использование математической модели.

Историческая линия формулы

Имя Пуассона закреплено за этим дискретным законом вероятностей. Историческая книга 1837 года и современная модель стационарного потока относятся к разным уровням описания; нельзя приписывать одному автору все последующие приложения к связи, очередям и контролю качества.

Пример

В учебной модели заявки поступают независимо с постоянной интенсивностью две в минуту. Найдём вероятность ровно трёх заявок за одну минуту. Здесь λ=2 и k=3; факториал 3! равен 6. Подстановка даёт P(X=3) = e⁻² · 2³ / 6 ≈ 0,180447. Ответ: около 18,04%. Это доля минут с тремя заявками в модели, а не среднее число заявок. Для проверки соседний результат P(X=2) = e⁻² · 4 / 2 ≈ 0,270671, а отношение P(X=3)/P(X=2) равно 2/3, как следует из сокращения факториалов. Вероятность безразмерна и меньше единицы; единица «заявок в минуту» была использована только при определении λ.

Частая ошибка

Не подставляйте интенсивность за час в расчёт для минуты без пересчёта времени. Не заменяйте событие «ровно три» событием «не меньше трёх»: у второго другая вероятность. Не полагайте 0!=0. Не объявляйте любой поток пуассоновским только потому, что события редки: независимость и постоянство режима также существенны.

Практика

Задачи с решением

Пустой интервал

Условие. За интервал ожидается в среднем 0,5 события. Найдите вероятность отсутствия событий.

Решение. При k=0 степень и факториал равны единице: P(X=0)=exp(−0,5)≈0,606531.

Ответ. Около 60,65%

Хотя бы одно

Условие. Среднее число событий за интервал равно 3. Найдите вероятность хотя бы одного.

Решение. Дополнение — ни одного события: P(X≥1)=1−e⁻³≈1−0,049787=0,950213.

Ответ. Около 95,02%

Дополнительные источники

  • https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
  • https://www.statlect.com/probability-distributions/Poisson-distribution
  • https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/DSB/Poisson.pdf

Связанные формулы

Математика

Вероятность в биномиальном распределении

$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$

Формула «Вероятность в биномиальном распределении» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Математическое ожидание дискретной случайной величины

$M(X)=\sum_i x_i p_i$

Формула «Математическое ожидание дискретной случайной величины» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Дисперсия дискретной случайной величины

$D(X)=\sum_i (x_i-M(X))^2p_i$

Формула «Дисперсия дискретной случайной величины» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.