Все формулы РФ

Математика / Вероятность и статистика

Геометрическое распределение: номер первого успеха

Геометрическое распределение описывает число независимых попыток до первого успеха включительно. Вероятность успеха p остаётся одинаковой в каждой попытке, а предшествующие попытки заканчиваются неудачей.

Опубликовано: Обновлено:

Теория вероятностей и математическая статистикаСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаАлгебра

Формула

$$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$$
Схема Первый успех при p = 0,2
Первый успех при p = 0,2Первый успех при p = 0,2Номер kНеудач до успехаВероятность100,2210,16320,128430,1024540,08192Успешная попытка включена в k

Вероятности соседних номеров отличаются в 0,8 раза.

Обозначения

$X$
номер попытки первого успеха, безразмерная величина
$k$
конкретный номер попытки, начиная с единицы, безразмерная величина
$p$
вероятность успеха в одной попытке, безразмерная величина
$P(X=k)$
вероятность первого успеха на попытке k, безразмерная величина

Условия применения

Испытания независимы, имеют два исхода и одну и ту же вероятность успеха 0<p≤1. Счёт включает удачную попытку, поэтому X начинается с единицы. При выборе предметов из конечной совокупности одинаковая вероятность обычно требует возвращения выбранного предмета.

Ограничения

Обучение, усталость, изменение условий или выбор без возвращения делают постоянную p сомнительной. В некоторых источниках геометрическая величина считает только неудачи и начинается с нуля: там показатель степени равен числу неудач, а не номеру успешной попытки.

Подробное объяснение

Событие «первый успех на k-й попытке» имеет строго определённый порядок: сначала k−1 неудач, затем один успех. Вероятность каждой неудачи равна 1−p. Независимость позволяет перемножить эти вероятности и получить степень, умноженную на p.

Коэффициент сочетаний здесь отсутствует. Для биномиального счёта один успех мог бы занимать разные позиции в серии, но слово «первый» и фиксированный номер k уже задают единственную последовательность исходов. Добавление множителя k посчитало бы лишние события.

Отношение вероятностей соседних номеров постоянно и равно 1−p. Поэтому при 0<p<1 вероятности убывают геометрически. Ранняя попытка более вероятна как место первого успеха, хотя условная вероятность успеха в очередной попытке остаётся p.

Вероятность не дождаться успеха за первые m попыток равна (1−p) в степени m. Дополнение до единицы даёт шанс получить хотя бы один успех за m попыток. Эта форма часто удобнее суммы отдельных вероятностей номеров от одного до m.

Среднее число попыток равно 1/p, однако это не обещание успеха к указанному номеру. После нескольких неудач независимая серия не становится «обязана» дать успех: распределение дальнейшего ожидания остаётся тем же. Это свойство отсутствия памяти относится к модели, а не ко всем реальным поискам.

Как пользоваться формулой

  1. Определите, что называется успехом, и задайте его постоянную вероятность для одной независимой попытки.
  2. Выберите соглашение: здесь k включает успешную попытку, поэтому число предыдущих неудач равно k−1.
  3. Возведите вероятность неудачи в степень k−1 и умножьте результат на вероятность одного успеха.
  4. Если нужен успех за первые m попыток, используйте дополнение вероятности m последовательных неудач.

Историческая справка

Геометрический закон принадлежит традиции повторных испытаний Бернулли и изучается рядом с биномиальным законом. Название связано с геометрической прогрессией вероятностей, а не с измерением геометрических фигур. В современной учебной литературе XX–XXI веков сосуществуют две записи: число попыток до первого успеха и число неудач перед ним. Например, OpenStax использует счёт попыток, а Statlect вводит счёт неудач. Разница между записями является сдвигом случайной величины на единицу, а не различием физических предпосылок. В этой статье выбрано первое соглашение, потому что оно непосредственно отвечает на вопрос «на какой попытке?». Отдельный единственный автор именно такой записи здесь не устанавливается; её вывод следует из правила умножения для независимых испытаний.

Историческая линия формулы

Термин отражает геометрическую прогрессию вероятностей в схеме повторных испытаний. Ссылка на традицию Бернулли описывает модель независимых двухисходных опытов; она не означает утверждение, что конкретное обозначение X или выбранное начало счёта ввёл один определённый автор.

Пример

В независимой серии проверок вероятность успеха каждой проверки равна 0,2. Требуется, чтобы первый успех произошёл на четвёртой проверке. До него должны случиться три неудачи, каждая с вероятностью 0,8. Получаем P(X=4) = 0,8³ · 0,2 = 0,512 · 0,2 = 0,1024. Ответ: 10,24%. Коэффициент «четыре возможные позиции» не нужен: удачная позиция уже назначена. Проверка через соседний номер даёт P(X=3)=0,8²·0,2=0,128; умножение на 0,8 действительно приводит к 0,1024. Все величины безразмерны. Среднее ожидание 1/0,2=5 попыток не противоречит этому результату: среднее и вероятность конкретного номера отвечают на разные вопросы.

Частая ошибка

Не путайте число неудач и число всех попыток до успеха: они отличаются на единицу. Не добавляйте сочетания, как в биномиальной формуле. Не считайте, что после длинной серии неудач вероятность независимого успеха увеличилась. Не применяйте постоянную p к выбору без возвращения, если состав совокупности меняется.

Практика

Задачи с решением

Монета

Условие. Для честной монеты найдите вероятность первого орла на третьем броске.

Решение. Нужна последовательность решка, решка, орёл. Вероятность (1/2)²·(1/2)=1/8.

Ответ. 0,125, или 12,5%

Успеть за три попытки

Условие. Вероятность успеха 0,1. Найдите шанс хотя бы одного успеха за три независимые попытки.

Решение. Все три неудачи имеют вероятность 0,9³=0,729. Дополнение равно 1−0,729=0,271.

Ответ. 27,1%

Дополнительные источники

  • https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/4-4-geometric-distribution
  • https://www.statlect.com/probability-distributions/geometric-distribution

Связанные формулы

Математика

Вероятность в биномиальном распределении

$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$

Формула «Вероятность в биномиальном распределении» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Математическое ожидание дискретной случайной величины

$M(X)=\sum_i x_i p_i$

Формула «Математическое ожидание дискретной случайной величины» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Формула полной вероятности

$P(A)=\sum_iP(H_i)P(A\mid H_i)$

Формула «Формула полной вероятности» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.