Инженерия / Инженерные измерения

Распространение неопределенности суммы и разности

Для суммы или разности независимых величин стандартные неопределенности складываются по квадратам, поэтому итоговая неопределенность больше каждой отдельной составляющей.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

u_y=\sqrt{u_a^2+u_b^2},\quad y=a\pm b

Схема вкладов Квадратичное сложение неопределенностей

Две независимые составляющие показаны как катеты прямоугольного треугольника, а итоговая неопределенность - как гипотенуза.

Для независимых вкладов дисперсии складываются, а стандартные неопределенности нет.

Обозначения

$u_y$: стандартная неопределенность результата y, единица результата
$u_a$: стандартная неопределенность величины a, единица величины a
$u_b$: стандартная неопределенность величины b, единица величины b

Условия применения

Величины a и b независимы или корреляцией можно пренебречь.
Коэффициенты чувствительности равны +1 или -1, как в простой сумме или разности.
Неопределенности выражены как стандартные неопределенности, а не как расширенные интервалы без пересчета.

Ограничения

При коррелированных входах нужна формула с ковариациями.
Если перед величинами стоят коэффициенты, их нужно учитывать: u_y = sqrt((c_a u_a)^2 + (c_b u_b)^2).
Нельзя складывать расширенные неопределенности по этой формуле, если они не приведены к стандартным.

Подробное объяснение

Знак в самой формуле результата и знак вклада в неопределенность - разные вещи. Когда из одного размера вычитают другой, результат может уменьшиться, но неопределенность остается вкладом незнания каждого входа. Если отверстие и вал измерены независимо, ошибка в любом из них может изменить расчетный зазор. Поэтому стандартные неопределенности объединяются по квадратам.

Квадратичное сложение основано на законе распространения неопределенности. Для функции y = a + b или y = a - b чувствительность результата к каждому входу равна по модулю единице. При независимых входах дисперсии складываются, а стандартная неопределенность получается как квадратный корень из суммы дисперсий. Такой подход отличается от расчета худшего случая, где максимальные отклонения могут складываться линейно.

В инженерной задаче важно понимать, какую оценку требуют правила. Для статистической неопределенности и отчетов измерений обычно используют квадратичное сложение стандартных неопределенностей. Для консервативной проверки предельных допусков иногда считают худший случай. Это разные задачи: первая оценивает неопределенность знания, вторая проверяет гарантированные пределы при неблагоприятной комбинации.

Если величины коррелированы, простая формула неполна. Например, два размера измерены одним и тем же прибором с общим смещением. При разности часть общего смещения может компенсироваться, а при сумме усиливаться. Тогда нужно учитывать ковариации или строить полную модель измерения.

Как пользоваться формулой

Запишите формулу результата как сумму или разность измеренных величин.
Убедитесь, что входные неопределенности выражены как стандартные.
Проверьте независимость входных величин или допустимость пренебрежения корреляцией.
Возведите стандартные неопределенности в квадрат и сложите.
Извлеките квадратный корень и укажите единицы результата.

Историческая справка

Закон распространения неопределенности вырос из теории ошибок и дифференциального анализа функций от измеренных величин. В классических задачах астрономии, геодезии и физики результат часто зависел не от одного наблюдения, а от комбинации нескольких измерений. Это потребовало правил, которые показывают, как ошибки входов переходят в ошибку результата. Современное руководство GUM оформило этот подход через модель измерения, коэффициенты чувствительности, стандартные неопределенности и ковариации. Простая формула для суммы и разности - частный случай этого общего закона. Она часто становится первым практическим шагом к полному бюджету неопределенности.

Историческая линия формулы

Формула является частным случаем закона распространения неопределенности и не принадлежит одному автору. Она связана с развитием теории ошибок, метода наименьших квадратов, статистики измерений и современной модели GUM для результатов измерений.

Пример

Нужно найти зазор y = D - d между отверстием и валом. Диаметр отверстия D = 20,050 мм со стандартной неопределенностью u_D = 0,006 мм. Диаметр вала d = 20,010 мм со стандартной неопределенностью u_d = 0,004 мм. Сам зазор равен 0,040 мм. Стандартная неопределенность зазора u_y = sqrt(0,006^2 + 0,004^2) = sqrt(0,000036 + 0,000016) = sqrt(0,000052) ≈ 0,0072 мм. Важно, что при разности неопределенности не вычитаются: оба измерения делают результат менее определенным. Если затем нужен отчетный интервал, эту стандартную неопределенность можно умножить на коэффициент охвата.

Частая ошибка

Самая опасная ошибка - вычитать неопределенности при разности величин. Если y = a - b, неопределенность результата не становится u_a - u_b; оба измерения вносят вклад в неопределенность зазора или перепада. Вторая ошибка - складывать абсолютные интервалы линейно без понимания, нужен ли худший случай или стандартная оценка. Третья ошибка - подставлять расширенные неопределенности U вместо стандартных u. Также нельзя игнорировать коэффициенты, например при y = 2a - b вклад a должен быть умножен на 2.

Практика

Задачи с решением

Масса нетто

Условие. Масса полной емкости 12,50 кг с u = 0,03 кг, масса пустой емкости 2,10 кг с u = 0,02 кг. Найдите стандартную неопределенность массы нетто.

Решение. Масса нетто равна разности, но неопределенности складываются по квадратам: u = sqrt(0,03^2 + 0,02^2) = sqrt(0,0013) ≈ 0,036 кг.

Ответ. примерно 0,036 кг

Сумма двух длин

Условие. Две длины имеют стандартные неопределенности 0,4 мм и 0,3 мм. Найдите неопределенность суммы.

Решение. u = sqrt(0,4^2 + 0,3^2) = sqrt(0,16 + 0,09) = 0,5 мм.

Ответ. 0,5 мм

Дополнительные источники

NIST Technical Note 1297, Appendix A: Law of Propagation of Uncertainty
JCGM 100:2008, law of propagation of uncertainty
NIST Statistical Engineering Division, Measurement Uncertainty

Связанные формулы

Инженерия

Расширенная неопределенность измерения

$U=k\,u_c$

Расширенная неопределенность равна комбинированной стандартной неопределенности, умноженной на коэффициент охвата, и используется для записи результата измерения интервалом.

Инженерия

Распространение неопределенности произведения и частного

$\frac{u_y}{|y|}=\sqrt{\left(\frac{u_a}{a}\right)^2+\left(\frac{u_b}{b}\right)^2},\quad y=a\,b\ \text{или}\ y=\frac{a}{b}$

Для произведения и частного независимых величин удобно складывать относительные стандартные неопределенности по квадратам, а затем умножать результат на модуль итоговой величины.

Инженерия

Стандартная неопределенность среднего

$u_A(\bar{x})=\frac{s}{\sqrt{n}}$

Стандартная неопределенность среднего показывает, насколько надежно среднее серии измерений оценивает измеряемую величину при случайном разбросе наблюдений.