Все формулы РФ

Инженерия / Статика и сопротивление материалов

Равновесие сил

Для статического равновесия тела в плоскости необходимо, чтобы сумма проекций всех внешних сил по осям была равна нулю. Это условие дополняют равновесием моментов.

Опубликовано: Обновлено:

Статика и сопротивление материаловМеханикаКалькуляторШкольная программаЕсть историческая справка

Формула

$$\sum F_x = 0,\; \sum F_y = 0$$
Схема Условие равновесия сил

На схеме показаны несколько внешних сил с разными направлениями и их разложение на оси X и Y.

Признак статического равновесия в 2D: обе суммы проекций должны быть ноль.

Обозначения

$\sum F_x$
Суммарная проекция сил на ось X, Н (СИ)
$\sum F_y$
Суммарная проекция сил на ось Y, Н (СИ)

Условия применения

  • Система находится в статическом режиме (ускорения отсутствуют).
  • Силы отнесены к одной геометрической плоскости и в одной системе координат.
  • Силы и оси заданы в системе СИ.

Ограничения

  • Для пространственных задач одной плоскости недостаточно: нужна третья координата.
  • Не покрывает моменты, для полноты условия необходимо дополнять суммой моментов.
  • Не применяют напрямую к телам с заметными динамическими ударами и вращениями с ускорением.

Подробное объяснение

Силы в плоской задаче раскладывают на две ортогональные проекции. Равновесие значит нулевую геометрическую сумму по каждой оси. Это базовое условие для любого статически-уравновешенного узла или тела в плоскости: ни по горизонтали, ни по вертикали тело не должно «уходить».

Как пользоваться формулой

  1. Разделите все силы на компоненты по осям X и Y.
  2. Запишите знаки по выбранной конвенции для каждой компоненты.
  3. Сложите все горизонтальные проекции и проверьте равенство нулю.
  4. Сложите все вертикальные проекции и проверьте равенство нулю.
  5. После этого переходите к условию равновесия моментов.

Историческая справка

Условие равновесия сил восходит к общей идее векторной суммы сил Рене Декарта и его развитую формулировку получили в новой механике через работы Ньютона и его учеников. В учебной инженерной традиции это вошло как базовый пункт метода статики.

Историческая линия формулы

Первое строгое использование метода проекций сформировалось в классических курсах «Statik» XVIII–XIX веков и вошло в школьный и инженерный курс благодаря учебникам по механике для практической инженерии.

Пример

На балку действуют силы: 8 кН вправо, 3 кН влево, 2 кН вверх и 5 кН вниз. \sum F_x = 8 - 3 = 5 кН, \sum F_y = 2 - 5 = -3 кН. Условия равновесия не выполняются, нужна опора или дополнительная сила.

Частая ошибка

Частая ошибка — подставляют знаки не по принятому направлению и получают правильный по модулю, но неправильный итог. Другая типичная ошибка — суммировать силы в разной системе координат без приведения проекций.

Практика

Задачи с решением

Равновесие по X и Y

Условие. На узел действуют силы: 12 Н вправо, 4 Н влево, 3 Н вверх и 8 Н вниз. Проверьте равновесие.

Решение. \sum F_x = 12 - 4 = 8\,\text{Н} \ne 0,\; \sum F_y = 3 - 8 = -5\,\text{Н} \ne 0. Тело не в равновесии.

Ответ. Условие не выполняется: требуется дополнительная сила.

Подбор реакции

Условие. Сумма горизонтальных сил на систему равна 15 Н в правую сторону и 8 Н влево. Дополнительно есть неизвестная реакция R_x слева на шарнире. Найдите R_x.

Решение. \sum F_x = 0:\; R_x - 7 = 0.

Ответ. R_x = 7 Н (вправо).

Дополнительные источники

  • Hibbeler, Engineering Mechanics: Statics, 15th ed., Pearson
  • Beer, Johnston, Mazurek, Introduction to Engineering Mechanics, McGraw-Hill
  • OpenStax University Physics 3e, chapter on forces and equilibrium

Связанные формулы

Инженерия

Равновесие моментов

$\sum M_O = 0$

Даже если суммарные проекции сил равны нулю, тело может вращаться. Для полного равновесия нужно, чтобы сумма моментов относительно любой точки была нулевой.

Инженерия

Момент силы

$M = F \cdot d = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$

Момент силы равен произведению силы на перпендикулярное плечо относительно оси вращения или модулю векторного произведения радиус-вектора и силы.

Инженерия

Распределенная нагрузка как сила

$F_{\text{экв}} = qL,\quad x_{\text{cp}} = x_A + \frac{L}{2}$

Равномерно распределенная нагрузка на участке заменяется эквивалентной сосредоточенной силой в центре тяжести участка.