Физика / Электричество

Полоса половинной мощности последовательной RLC-цепи

У последовательной RLC-цепи при постоянном напряжении полоса между двумя точками половинной мощности равна R/(2πL). Добротность сравнивает её с частотой резонанса.

Опубликовано: 9 ноября 2026 г.Обновлено: 9 ноября 2026 г.

Формула

\Delta f=f_+-f_-=\frac{R}{2\pi L},\qquad Q=\frac{f_0}{\Delta f}

Схема Резонансная кривая мощности

Пересечения с половиной максимума находятся около 905 и 1105 рад/с. Разность составляет 200 рад/с.

Обозначения

$Δf$: полоса половинной мощности, Гц
f₋, f₊: нижняя и верхняя частоты половинной мощности, Гц
$R$: суммарное последовательное сопротивление, Ом
$L$: индуктивность, Гн
$Q$: добротность резонанса, —
$f₀$: частота резонанса тока, Гц

Условия применения

Идеальные L и C соединены последовательно с постоянным эффективным сопротивлением R>0. Источник поддерживает одинаковую действующую амплитуду напряжения по частоте. Мощность рассчитывают для резистивного рассеяния цепи.

Ограничения

Для параллельного контура или измерения напряжения на отдельной катушке используется другая характеристика. Частотно-зависимые потери и сопротивление источника меняют результат. Границы полосы симметричны вокруг резонанса только в приближении узкой полосы.

Подробное объяснение

Ток максимален, когда индуктивное сопротивление ωL и модуль ёмкостного сопротивления 1/(ωC) равны. В этот момент полный импеданс равен R. Средняя мощность на сопротивлении пропорциональна квадрату действующего тока.

Чтобы мощность упала вдвое, модуль импеданса должен вырасти в √2 раз. Следовательно, реактивная часть импеданса имеет модуль R. Две границы решают уравнения ωL−1/(ωC)=−R и ωL−1/(ωC)=+R.

Положительные корни равны √(ω₀²+(R/2L)²)∓R/(2L). Их разность точно равна R/L в радианах в секунду. При переходе к герцам делят на 2π. Ёмкость входит в ω₀ и меняет положение обеих границ, но исчезает из их разности. Произведение же границ равно квадрату угловой частоты резонанса.

Если R уменьшается, резонанс становится уже и Q возрастает. На практике в R включают все активные сопротивления, которые участвуют в последовательном пути тока, в том числе потери катушки, если их можно считать постоянными вблизи резонанса.

Как пользоваться формулой

Определите суммарное последовательное сопротивление цепи, включая активные потери, существенные в рабочем диапазоне.
Переведите индуктивность в генри и разделите R на L для ширины полосы по угловой частоте.
Разделите результат на 2π для ширины в герцах. При известной C найдите f₀=1/(2π√(LC)).
Вычислите Q как отношение f₀ к ширине полосы или решите два уравнения для её отдельных границ.

Историческая справка

Понятие добротности используется в частотном анализе электрических резонаторов для характеристики потерь. В современных учебных курсах оно связывает измеряемую ширину пика с сопротивлением, индуктивностью и частотой резонанса. При определении ширины важен выбор наблюдаемой величины, например рассеиваемой мощности.

В University Physics Volume 2 издательства OpenStax, опубликованном в 2016 году, резонанс последовательной цепи разбирают по частотным кривым тока и мощности. Там ширину связывают с точками половинной мощности. Ту же ширину можно найти алгебраически из двух значений реактивной части импеданса. Это связывает экспериментальную кривую с параметрами элементов.

Историческая линия формулы

Выражение получается из закона Ома для гармонического режима и определения полосы по половинной мощности. Здесь используется стандартный учебный разбор последовательной RLC-цепи из OpenStax. Результат зависит от схемы включения и того, какую мощность измеряют.

Пример

У цепи R=20 Ом, L=0,10 Гн и C=10 мкФ. Амплитуда источника не зависит от частоты. Рассчитаем полосу половинной мощности и добротность. Угловая частота резонанса ω₀=1/√(0,10·10⁻⁵)=1000 рад/с. Разность угловых частот равна R/L=200 рад/с. Значит Δf=200/(2π)≈31,83 Гц и Q=1000/200=5. Проверка: R/(2L)=100 рад/с, границы около 904,99 и 1104,99 рад/с. Их разность равна 200 рад/с. Размерность Ом/Гн равна с⁻¹. Деление на 2π переводит угловую частоту в частоту в герцах. Отношение двух частот в определении Q безразмерно.

Частая ошибка

Не путайте половину мощности с половиной амплитуды тока: ток на границах равен максимуму, делённому на √2. Для герц нужен множитель 2π в знаменателе. Не исключайте потери катушки из R при сопоставлении с измерением. При широкой полосе нельзя искать границы как f₀±Δf/2.

Практика

Задачи с решением

Уменьшение потерь

Условие. В цепи из примера сопротивление уменьшено до 10 Ом. Найдите новую полосу и добротность.

Решение. Угловая частота 1000 рад/с сохраняется. Δω=10/0,10=100 рад/с, значит Δf≈15,92 Гц. Добротность равна 1000/100=10.

Ответ. 15,92 Гц и Q=10.

Сопротивление по требуемой полосе

Условие. При L=0,10 Гн требуется полоса 40 Гц. Каково суммарное последовательное сопротивление?

Решение. Из формулы R=2πLΔf=2π·0,10·40=8π≈25,13 Ом. Сопротивление включает все последовательные потери.

Ответ. Около 25,13 Ом.

Дополнительные источники

https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/15-5-resonance-in-an-ac-circuit
https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/15-3-rlc-series-circuits-with-ac

Связанные формулы

Физика

Фазовый угол импеданса последовательной RLC-цепи

$\varphi_Z=\arg Z=\arctan\!\left(\frac{\omega L-1/(\omega C)}{R}\right),\qquad Z=R+j\left(\omega L-\frac1{\omega C}\right)$

Фазовый угол импеданса последовательной RLC-цепи определяется разностью индуктивного и ёмкостного сопротивлений, делённой на активное сопротивление. Он показывает, опережает ли напряжение ток или, ниже резонанса, отстаёт от него.

Физика

Амплитуда и ширина режекторного фильтра второго порядка

$|H(f)|=\frac{|1-r^2|}{\sqrt{(1-r^2)^2+(r/Q)^2}},\qquad r=\frac{f}{f_0}$

Идеальный режекторный фильтр второго порядка подавляет сигнал на частоте f₀, а ширина провала между точками уровня −3,01 дБ равна f₀/Q.

Физика

Фазовый сдвиг RC-фильтра низких частот

$\varphi(f)=-\arctan(2\pi fRC)=-\arctan\!\left(\frac{f}{f_c}\right),\qquad f_c=\frac1{2\pi RC}$

Фазовый сдвиг ненагруженного RC-фильтра низких частот равен отрицательному арктангенсу отношения частоты сигнала к частоте среза. Формула показывает, насколько выходное напряжение отстаёт от входного в установившемся синусоидальном режиме.