Все формулы РФ

Физика / Электричество

Фазовый сдвиг RC-фильтра низких частот

Фазовый сдвиг ненагруженного RC-фильтра низких частот равен отрицательному арктангенсу отношения частоты сигнала к частоте среза. Формула показывает, насколько выходное напряжение отстаёт от входного в установившемся синусоидальном режиме.

Опубликовано: Обновлено:

ЭлектричествоСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаИнженерные измеренияКолебания и волны

Формула

$$\varphi(f)=-\arctan(2\pi fRC)=-\arctan\!\left(\frac{f}{f_c}\right),\qquad f_c=\frac1{2\pi RC}$$
Схема Фаза RC-фильтра в зависимости от частоты
Фазовый сдвиг однополюсного RC-фильтраГрафик от 0,1 до 10 частот среза: фаза падает от −5,7 до −84,3 градуса и проходит через −45 градусов при f равно fc.Фаза φ, градусы0°−45°−90°0,1110Относительная частота f/fcfc: −45°Ненагруженный RC-фильтр, выход на C

Для ненагруженного однополюсного RC-фильтра фаза меняется от 0° к −90°. На частоте среза fc она равна −45°.

Обозначения

$φ(f)$
фаза выходного напряжения относительно входного; отрицательный знак означает отставание, рад или °
$f$
частота синусоидального входного сигнала, Гц
$R$
последовательно включённое сопротивление, Ом
$C$
ёмкость конденсатора, на котором снимают выходное напряжение, Ф
$f_c$
частота среза, при которой модуль передачи равен 1/√2 от низкочастотного значения, Гц
$τ=RC$
постоянная времени цепи, с

Условия применения

Используйте выражение для последовательного соединения R и C, когда выход снимается с конденсатора, источник можно считать идеальным, а выход не нагружен либо нагрузка имеет сопротивление, намного больше R. Входное напряжение — синусоида; рассматривается установившийся режим после затухания переходного процесса. Частота и компоненты положительны, а паразитные ёмкости и индуктивности в рабочем диапазоне пренебрежимо малы.

Ограничения

Подключённая нагрузка образует с конденсатором дополнительную цепь и меняет передаточную функцию; конечное выходное сопротивление генератора также следует включить в расчёт. Формула не описывает фазу во время включения, произвольный переходный сигнал или высокочастотные паразитные эффекты. Перевод фазы в задержку Δt=|φ|/(2πf) относится только к данной синусоиде: задержка здесь зависит от частоты и не является постоянной для всех сигналов.

Подробное объяснение

В классическом RC-фильтре резистор стоит последовательно с источником, конденсатор соединён с землёй, а выход измеряют на конденсаторе. На низкой частоте конденсатор успевает заряжаться вслед за входом, и выход почти совпадает с ним по фазе. При росте частоты напряжение конденсатора всё сильнее отстаёт.

В комплексной форме импеданс конденсатора равен 1/(jωC), где ω=2πf. Делитель напряжения даёт H(jω)=Uвых/Uвх=1/(1+jωRC). Аргумент знаменателя равен arctan(ωRC), поэтому аргумент H имеет противоположный знак: φ=−arctan(ωRC). Поскольку fc=1/(2πRC), отношение ωRC можно записать как f/fc.

При f≪fc фаза близка к 0°, а при f=fc она равна −45°. При f≫fc сдвиг стремится к −90°, но для любой конечной частоты остаётся немного выше этой границы. Модуль передачи одновременно уменьшается: |H|=1/√(1+(f/fc)²). На частоте среза он составляет 1/√2≈0,707 от входной амплитуды.

Например, если измеритель показывает фазу −45°, сигнал на выходе запаздывает относительно входа на одну восьмую периода. При другой частоте то же число градусов соответствует другой временной задержке. Поэтому фазу нельзя без оговорки называть постоянным временем задержки.

Формула описывает один полюс. Два каскадированных RC-звена обычно нельзя считать независимыми, если выход первого непосредственно нагружает второе: нагрузка меняет оба отклика. Буферный усилитель развязывает каскады, но сам может внести дополнительный фазовый сдвиг на высоких частотах.

Знак фазы зависит и от выбранного выхода. Если снять напряжение с резистора, получится фильтр верхних частот с положительной фазой; здесь выход взят именно с конденсатора. Для комплексных сигналов с несколькими частотами каждую гармонику следует умножать на своё H(jω), а не сдвигать весь сигнал на один общий угол.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте схему: R последовательно с источником, C на землю, выход — на C; оцените, можно ли считать источник идеальным и нагрузку пренебрежимо малой.
  2. Переведите R в омы, C в фарады и частоту f в герцы; вычислите τ=RC в секундах или fc=1/(2πRC) в герцах.
  3. Найдите безразмерное отношение x=2πfRC=f/fc и вычислите φ=−arctan(x), указав, в каких единицах выдан угол.
  4. Если нужен выходной сигнал, отдельно вычислите |H|=1/√(1+x²) и умножьте на амплитуду входа; одного угла недостаточно.
  5. Переводите фазу во временной сдвиг только для заданной частоты: Δt=|φ|/(2πf), где φ выражен в радианах.
  6. Сравните расчёт с измерением в одной точке частотного отклика и проверьте, не изменили ли результат нагрузка, щуп или сопротивление генератора.

Историческая справка

Идея частотного отбора в электрических цепях выросла из телеграфии: инженеры искали способы разделять сигналы и уменьшать их взаимные помехи на линиях связи. В 1915 году Джордж Эшли Кэмпбелл подал заявку на патент электрического волнового фильтра; патент США № 1 227 113 был выдан в 1917 году. Это исторический ориентир для теории электрических фильтров, но не свидетельство того, что именно Кэмпбелл изобрёл простую RC-цепь или приведённую формулу фазы.

Современный анализ линейных цепей описывает установившийся отклик через комплексную передаточную функцию. Для однополюсного НЧ-фильтра её фаза связана с арктангенсом нормированной частоты; в инженерных справочниках фаза рассматривается рядом с амплитудной характеристикой, поскольку каскадирование и обратная связь зависят от обеих. Измерительная практика дополняет расчёт диаграммами модуля и фазы.

Поэтому у формулы φ=−arctan(2πfRC) нет надёжно установленного единственного исторического автора. Это прямое следствие импеданса конденсатора и делителя напряжения, записанное в принятой сегодня комплексной форме. Исторический вклад Кэмпбелла относится к ранней разработке электрических волновых фильтров как инженерного класса устройств, а не к авторству этой элементарной цепи.

Историческая линия формулы

Формула фазы не приписывается одному автору: она выводится из комплексного импеданса конденсатора и делителя напряжения. Кэмпбелл связан с ранней теорией электрических волновых фильтров; его патент 1917 года не следует представлять как патент на простую RC-цепь или на это равенство.

Пример

Пусть ненагруженный фильтр имеет R=10 кОм и C=10 нФ; на вход подана синусоида частотой f=1,00 кГц. Найдём сдвиг фазы и амплитуду выхода, если амплитуда входа равна 2,00 В. Сначала τ=RC=10000·10·10⁻⁹=1,00·10⁻⁴ с=100 мкс, поэтому fc=1/(2πτ)≈1591,55 Гц. Нормированная частота x=f/fc≈0,628319. Тогда φ=−arctan(0,628319)≈−32,14°. Выход отстаёт от входа примерно на 32,14°. Модуль передачи равен |H|=1/√(1+0,628319²)≈0,846733; амплитуда выхода Uвых≈2,00·0,846733=1,693 В. Если представить фазу как задержку этой синусоиды, Δt=32,14°/(360°·1000 Гц)≈89,3 мкс. Проверка размерности: fRC безразмерно, значит арктангенс даёт угол; отношение амплитуд также безразмерно, а временной сдвиг имеет секунды. При f=fc формула даёт −45° и 0,707 входной амплитуды — независимую проверку граничного случая.

Частая ошибка

Не меняйте знак на плюс: при съёме выхода с конденсатора RC-фильтр низких частот отстаёт. Не подставляйте f вместо 2πf в выражение с RC: герцы нужно преобразовать в угловую частоту. Не считайте fc частотой полного исчезновения сигнала — это точка −3 дБ, где амплитуда равна примерно 70,7%. Не переводите фазу в одно постоянное число секунд без указания f. Не применяйте формулу к нагруженному фильтру, не проверив изменение делителя.

Практика

Задачи с решением

Сдвиг на частоте среза

Условие. Ненагруженный RC-фильтр имеет R=10 кОм и C=10 нФ. Найдите фазовый сдвиг и амплитуду выхода, если амплитуда входа 3,0 В, а f=fc.

Решение. fc=1/(2πRC)=1591,55 Гц. При f=fc отношение f/fc=1, поэтому φ=−arctan(1)=−45°. |H|=1/√2≈0,7071; Uвых=3,0·0,7071≈2,12 В.

Ответ. φ=−45°; амплитуда выхода ≈2,12 В.

Фаза и временной сдвиг

Условие. R=4,7 кОм, C=22 нФ, нагрузкой пренебречь. Для синусоиды f=500 Гц найдите фазу выхода и соответствующее запаздывание во времени.

Решение. x=2πfRC=2π·500·4700·22·10⁻⁹≈0,324841. φ=−arctan(x)≈−18,00°. Для этой частоты Δt=|φ|/(360°f)=18,00°/(360°·500 Гц)≈100,0 мкс.

Ответ. Фаза ≈−18,00°; выход запаздывает примерно на 100,0 мкс.

Калькулятор

Фаза и амплитуда на выходе

Введите R в кОм, C в нФ, частоту синусоиды в кГц и её входную амплитуду в вольтах. Предполагается ненагруженный RC-фильтр с выходом на конденсаторе.

Заполнить примером:
Введите значенияКалькулятор покажет ответ, промежуточные величины и ход подстановки.
  • Отрицательная фаза означает, что выход на конденсаторе отстаёт от входа. Нагрузка и выходное сопротивление генератора не учтены.

Дополнительные источники

  • https://www.analog.com/en/resources/analog-dialogue/articles/phase-response-in-active-filters-2.html
  • https://physicslabs.colorado.edu/courses/phys-3330/lab-guides/lab3/
  • https://ocw.mit.edu/courses/6-002-circuits-and-electronics-spring-2007/resources/demo_20/
  • https://patents.google.com/patent/US1227113A/en
  • https://www.aps.org/apsnews/2010/02/1925-death-of-oliver-heaviside

Связанные формулы

Физика

Закон Ома для переменного тока

$I=\frac{U}{Z}$

Закон Ома для переменного тока: формула I=\frac{U}{Z} помогает связать ток, напряжение, сопротивление или проводимость. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Физика

Активная мощность переменного тока

$P=UI\cos\varphi$

Активная мощность в цепи переменного тока равна произведению действующих значений напряжения и тока на коэффициент мощности cos φ.

Физика

Ёмкость конденсатора

$C=\frac{q}{U}$

Электрическая емкость конденсатора равна отношению заряда одной обкладки к напряжению между обкладками и показывает способность накапливать заряд.