Физика / Электричество

Тепловой шум резистора: формула Джонсона—Найквиста

Формула Джонсона—Найквиста определяет среднеквадратическое напряжение теплового шума резистора по температуре, сопротивлению и эквивалентной шумовой полосе измерения.

Опубликовано: 7 ноября 2026 г.Обновлено: 7 ноября 2026 г.

Формула

u_{n,\mathrm{rms}}=\sqrt{4k_{\mathrm B}TRB}

Схема Шум растёт как квадратный корень полосы

R=10 кОм, T=300 К. По горизонтали B от 0 до 40 кГц; по вертикали среднеквадратическое напряжение в мкВ. При B=10 кГц u≈1,287 мкВ.

Обозначения

$uₙ,rms$: среднеквадратическое напряжение холостого хода шумящего резистора, В
$k_B$: постоянная Больцмана, 1,380649·10⁻²³, Дж/К
$T$: абсолютная температура резистора, К
$R$: вещественное сопротивление в рассматриваемой полосе, Ом
$B$: односторонняя эквивалентная шумовая полоса, Гц

Условия применения

Резистор находится в тепловом равновесии, его сопротивление практически постоянно в измеряемой полосе. Применяется классическое приближение hf≪k_BT. Напряжение указано на ненагруженных выводах, а B относится к одностороннему спектру и учитывает фильтр измерителя.

Ограничения

Формула не включает шум усилителя, наводки, низкочастотный избыточный шум и изменение температуры от самонагрева. Полоса по уровню −3 дБ не всегда равна B. При комплексном импедансе необходимо интегрировать спектр с Re Z(f), при высоких частотах учитывать квантовую поправку.

Подробное объяснение

Даже без приложенного напряжения тепловое движение носителей заряда вызывает случайную разность потенциалов на выводах сопротивления. Среднее значение этой разности близко к нулю, но средний квадрат положителен. Поэтому шум характеризуют среднеквадратическим напряжением, а не постоянной ЭДС.

В классическом диапазоне односторонняя спектральная плотность напряжения равна 4k_BTR и имеет размерность В²/Гц. Если сопротивление и передача фильтра постоянны внутри идеальной полосы B, интеграл спектра даёт 4k_BTRB. Квадратный корень переводит дисперсию в напряжение.

Для реального фильтра B определяют интегралом квадрата нормированной амплитудной характеристики. У однополюсного фильтра нижних частот B=πf_c/2, где f_c — частота среза по мощности. Использование f_c вместо B занижает оценку напряжения в √(π/2) раза.

Рост сопротивления в четыре раза удваивает напряжение шума. Такое же правило действует для температуры и шумовой полосы. Плотность амплитуды √(4k_BTR), измеряемая в В/√Гц, ещё не является полным напряжением; её нужно умножить на √B.

Полученное напряжение относится к холостому ходу. При подключении согласованного сопротивления напряжение на нагрузке вдвое меньше, а доступная мощность шума равна k_BTB. Поэтому нельзя делить квадрат напряжения холостого хода на R и объявлять результат мощностью, поступающей в согласованную нагрузку.

Как пользоваться формулой

Переведите температуру резистора в кельвины и сопротивление в омы; проверьте, остаётся ли R постоянным в полосе измерителя.
Определите эквивалентную шумовую полосу B по фильтру, а не автоматически по частоте среза или частоте дискретизации.
Вычислите 4k_BTRB без преждевременного округления; это дисперсия напряжения на ненагруженных выводах сопротивления.
Извлеките квадратный корень, переведите в микровольты и при необходимости учтите делитель нагрузки и усиление тракта.

Историческая справка

Экспериментальная и теоретическая стороны теплового шума получили классическое изложение в двух статьях Джона Джонсона и Гарри Найквиста в Physical Review в 1928 году. Джонсон исследовал случайные электрические колебания проводника, а Найквист связал их интенсивность с тепловым равновесием и сопротивлением. Двойное название отражает эти дополняющие друг друга результаты.

В работе NIST 2017 года шум резистора сравнивают с синтезированным квантовым эталонным сигналом для определения постоянной Больцмана. Такое применение показывает, почему в метрологии важно различать спектральную плотность, полосу и средний квадрат: измеряют статистическую мощность случайного напряжения, а не его мгновенное значение.

Историческая линия формулы

Название Джонсона—Найквиста объединяет экспериментальное наблюдение и теоретическое описание равновесного электрического шума. Приведённая запись является классической формой для постоянного сопротивления и односторонней полосы; учебные числа не относятся к историческому эксперименту.

Пример

Оценим тепловой шум сопротивления R=10 кОм при T=300 К в идеальной прямоугольной полосе B=10 кГц. Нужно напряжение холостого хода; шум входа усилителя в расчёт не входит. В СИ R=10000 Ом и B=10000 Гц. Средний квадрат напряжения: u²=4·1,380649·10⁻²³·300·10000·10000=1,6567788·10⁻¹² В². После извлечения корня u≈1,287159·10⁻⁶ В=1,287159 мкВ. Проверим через амплитудную плотность: √(4k_BTR)≈12,87159 нВ/√Гц. Умножение на √10000=100 даёт 1287,159 нВ, то есть тот же ответ. При уменьшении B до 2,5 кГц напряжение должно уменьшиться ровно вдвое, до 0,643580 мкВ.

Частая ошибка

Не подставляйте температуру в градусах Цельсия: нужен абсолютный масштаб. Не умножайте амплитудную плотность на B: интегрируется квадрат плотности, поэтому множитель равен √B. Не складывайте независимые шумовые напряжения арифметически: складываются их дисперсии. Не путайте напряжение холостого хода с напряжением на согласованной нагрузке.

Практика

Задачи с решением

Сужение полосы

Условие. Для того же резистора 10 кОм при 300 К уменьшили B с 10 до 2,5 кГц. Найдите uₙ,rms.

Решение. Отношение полос равно 1/4. Напряжение меняется в √(1/4)=1/2 раза: u=1,287159/2≈0,643580 мкВ.

Ответ. Около 0,643580 мкВ.

Однополюсный фильтр

Условие. R=10 кОм, T=300 К; фильтр имеет частоту среза f_c=10 кГц и единичное усиление при нуле. Найдите шум.

Решение. Эквивалентная полоса B=πf_c/2≈15707,963 Гц. Напряжение u=1,287159√(π/2)≈1,613215 мкВ.

Ответ. Около 1,613215 мкВ.

Дополнительные источники

https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/jres/122/jres.122.046.pdf
https://www.analog.com/MT-047
https://wiki.analog.com/university/labs/noise_adalm2000

Связанные формулы

Физика

Дробовой шум фототока: среднеквадратический ток

$i_{n,\mathrm{rms}}=\sqrt{2q(I_{\mathrm{ph}}+I_{\mathrm d})B}$

Дробовой шум фотодиода возникает из-за случайного прихода дискретных зарядов. Его среднеквадратический ток определяется суммой среднего фототока и тёмного тока и шумовой полосой.

Физика

Закон Джоуля-Ленца

$Q = I^2Rt$

Закон Джоуля — Ленца определяет теплоту, выделенную током в резисторе: Q = I²Rt. При постоянных сопротивлении и времени удвоение тока увеличивает выделенную теплоту в четыре раза.

Математика

Распределение Пуассона: вероятность числа событий

$P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$

Распределение Пуассона даёт вероятность ровно k событий на фиксированном интервале, если известно их среднее число λ. Модель применяют к независимому потоку с постоянной интенсивностью.