Физика / Электричество

Дробовой шум фототока: среднеквадратический ток

Дробовой шум фотодиода возникает из-за случайного прихода дискретных зарядов. Его среднеквадратический ток определяется суммой среднего фототока и тёмного тока и шумовой полосой.

Опубликовано: 7 ноября 2026 г.Обновлено: 7 ноября 2026 г.

Формула

i_{n,\mathrm{rms}}=\sqrt{2q(I_{\mathrm{ph}}+I_{\mathrm d})B}

Схема Дробовой шум при расширении полосы

I_ph=1 мкА, I_d=10 нА; показан только дробовой шум. При B=1 кГц i≈17,990 пА, а при 4 кГц вдвое больше.

Обозначения

$iₙ,rms$: среднеквадратическое значение дробового шумового тока, А
$q$: модуль элементарного заряда, 1,602176634·10⁻¹⁹, Кл
$I_ph$: средний ток от светового сигнала, А
$I_d$: средний тёмный ток; используется положительная величина, А
$B$: односторонняя эквивалентная шумовая полоса тракта, Гц

Условия применения

Рассматривается фотодиод без лавинного умножения при независимых событиях переноса заряда. Средние фототок и тёмный ток постоянны на интервале измерения; их дробовые компоненты независимы. Полоса лежит в области применимости белого спектра данной модели.

Ограничения

Выражение не описывает суммарный шум фотоприёмника. Отдельно учитывают тепловой шум, токовый и напряженческий шум усилителя, шум источника света и низкочастотные флуктуации. Лавинное умножение требует коэффициента усиления и фактора избыточного шума; коррелированные события меняют статистику.

Подробное объяснение

Электрический ток является усреднением переноса отдельных зарядов. Если события независимы, число переносов за одинаковое время случайно колеблется. Даже строго постоянная средняя освещённость поэтому не означает постоянного мгновенного фототока. Статистический разброс сохраняется после устранения внешних наводок.

Для пуассоновского потока односторонняя спектральная плотность дробового токового шума равна 2qI. После интегрирования по идеальной шумовой полосе B дисперсия составляет 2qIB. Квадратный корень даёт ток в амперах. Двойка в формуле относится к принятой односторонней спектральной нормировке.

Фототок и тёмный ток дают отдельные независимые дисперсии 2qI_phB и 2qI_dB. Их сумма приводит к выражению со скобкой I_ph+I_d. Знак внешнего подключения фотодиода не делает дисперсию отрицательной: под I_ph и I_d понимают положительные величины соответствующих средних токов.

Если преобладает фототок, абсолютный шум растёт как √I_ph, а отношение среднего сигнала к дробовому шуму — тоже как √I_ph. Четырёхкратное увеличение полезного тока удваивает такое отношение. При заметном тёмном токе эта простая пропорция уже неточна, поскольку в знаменателе остаётся его вклад.

При переводе шумового тока в напряжение нужно знать передаточную функцию усилителя. Умножение на постоянное сопротивление обратной связи допустимо лишь там, где модуль трансимпеданса практически постоянен. Для произвольного тракта интегрируют 2q(I_ph+I_d)|Z_t(f)|² по частоте; одной частоты среза недостаточно.

Как пользоваться формулой

Установите, что фотодиод работает без внутреннего умножения, и выпишите средние фототок и тёмный ток как положительные величины.
Переведите оба тока в амперы, затем сложите их: независимые дробовые компоненты складываются именно на уровне дисперсий.
Определите одностороннюю эквивалентную шумовую полосу B с учётом реальной фильтрации и рассчитайте 2q(I_ph+I_d)B.
Извлеките корень и укажите шум в амперах или пикоамперах; при оценке всего приёмника добавьте остальные независимые дисперсии.

Историческая справка

Дробовой шум связан с дискретным переносом заряда. Классическое исследование Вальтера Шоттки 1918 года касалось флуктуаций тока в вакуумных приборах. Современное изложение этого опыта и условий пуассоновской модели дано в исследовании Shot Noise in Schottky’s Vacuum Tube. Оно подчёркивает, что дискретность событий сама по себе ещё не гарантирует полного пуассоновского шума при наличии корреляций.

В фотоприёмниках ту же статистическую идею применяют к фототоку и тёмному току. Современные технические материалы Hamamatsu отдельно показывают множители внутреннего усиления и избыточного шума. Приведённая здесь запись соответствует случаю без умножения; она не является универсальной формулой для всех фотодетекторов.

Историческая линия формулы

Название «дробовой шум» относится к флуктуациям отдельных событий переноса заряда; в электронике его также связывают с именем Шоттки. Формула для фотодиода здесь использует современную одностороннюю спектральную запись и независимость двух источников тока, а не параметры исторического вакуумного опыта.

Пример

Фотодиод даёт средний фототок I_ph=1 мкА и тёмный ток I_d=10 нА. Шумовая полоса B=1 кГц. Найдём только дробовой шум тока; усилитель и обратную связь пока не учитываем. Суммарный средний ток равен 1,01·10⁻⁶ А. Подстановка: i²=2·1,602176634·10⁻¹⁹·1,01·10⁻⁶·1000=3,23639680068·10⁻²² А². Поэтому i≈1,798999·10⁻¹¹ А=17,98999 пА. Без тёмного тока получилось бы √(2q·10⁻⁶·1000)≈17,90071 пА. Отношение двух ответов равно √1,01≈1,004988: тёмный ток добавил около 0,499% к амплитуде шума. Проверка размерности: Кл·А·Гц=А², так как Кл=А·с, а Гц=с⁻¹.

Частая ошибка

Не подставляйте средний ток в микроамперах без множителя 10⁻⁶. Не вычитайте тёмный ток из шумовой дисперсии после коррекции среднего сигнала: статистические флуктуации остаются. Не складывайте шумовые амплитуды напрямую. Не применяйте формулу без поправок к лавинному фотодиоду или источнику с непуассоновской статистикой.

Практика

Задачи с решением

Четырёхкратная полоса

Условие. Сохраните I_ph=1 мкА и I_d=10 нА, но увеличьте B с 1 до 4 кГц. Найдите дробовой шум.

Решение. Дисперсия растёт в четыре раза, амплитуда — вдвое. i=2·17,98999≈35,97998 пА.

Ответ. Около 35,97998 пА.

Фототок без тёмного вклада

Условие. Тёмным током пренебрегают; I_ph=4 мкА, B=1 кГц. Найдите шум и отношение среднего сигнала к шуму.

Решение. i=√(2·1,602176634·10⁻¹⁹·4·10⁻⁶·1000)≈35,80141 пА. Отношение 4·10⁻⁶/(35,80141·10⁻¹²)≈111727. Это амплитудное отношение.

Ответ. 35,80141 пА; отношение около 1,11727·10⁵.

Дополнительные источники

https://www.hamamatsu.com/us/en/resources/interactive-tools/analog-snr-simulator.html
https://hub.hamamatsu.com/us/en/technical-notes/detector-selection/guide-to-detector-selection.html
https://arxiv.org/abs/cond-mat/0112504

Связанные формулы

Физика

Тепловой шум резистора: формула Джонсона—Найквиста

$u_{n,\mathrm{rms}}=\sqrt{4k_{\mathrm B}TRB}$

Формула Джонсона—Найквиста определяет среднеквадратическое напряжение теплового шума резистора по температуре, сопротивлению и эквивалентной шумовой полосе измерения.

Математика

Распределение Пуассона: вероятность числа событий

$P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$

Распределение Пуассона даёт вероятность ровно k событий на фиксированном интервале, если известно их среднее число λ. Модель применяют к независимому потоку с постоянной интенсивностью.

Физика

Закон Джоуля-Ленца

$Q = I^2Rt$

Закон Джоуля — Ленца определяет теплоту, выделенную током в резисторе: Q = I²Rt. При постоянных сопротивлении и времени удвоение тока увеличивает выделенную теплоту в четыре раза.