Физика / Электричество

Амплитуда и ширина режекторного фильтра второго порядка

Идеальный режекторный фильтр второго порядка подавляет сигнал на частоте f₀, а ширина провала между точками уровня −3,01 дБ равна f₀/Q.

Опубликовано: 9 ноября 2026 г.Обновлено: 9 ноября 2026 г.

Формула

|H(f)|=\frac{|1-r^2|}{\sqrt{(1-r^2)^2+(r/Q)^2}},\qquad r=\frac{f}{f_0}

Схема Ширина провала при разных добротностях

Обе кривые имеют нуль при f=f₀. При Q=5 провал уже, чем при Q=2.

Обозначения

$|H(f)|$: модуль передачи, нормированный к единичному усилению, —
$f$: частота сигнала, Гц
$f₀$: частота точного подавления, Гц
$r$: отношение f/f₀, —
$Q$: добротность полюсной пары, —

Условия применения

Рассматривается идеальная аналоговая схема второго порядка с совпадающими собственной частотой знаменателя и частотой нулей числителя. Усиление на нулевой частоте и при f→∞ равно единице, f₀>0 и Q>0.

Ограничения

Реальная глубина провала ограничена согласованием элементов, конечной полосой усилителя и ошибкой настройки. Если частота нулей отличается от собственной частоты полюсов, простая формула для ширины не действует. Для цифрового фильтра применяется отдельная частотная шкала.

Подробное объяснение

Передаточная функция имеет числитель s²+ω₀² и знаменатель s²+(ω₀/Q)s+ω₀². После подстановки s=jω вещественная часть числителя и знаменателя пропорциональна 1−r². В знаменателе дополнительно появляется мнимая часть r/Q.

При r=1 числитель равен нулю и идеальный фильтр полностью подавляет синусоиду. При f=0 и на очень высокой частоте модуль стремится к единице. Такой отклик позволяет ослабить узкий диапазон частот, оставив обе стороны спектра.

На границах провала |H|²=1/2, откуда |1−r²|=r/Q. Разность двух положительных корней равна 1/Q, а их произведение равно единице. Поэтому ширина в герцах составляет f₀/Q, а геометрическое среднее границ равно f₀.

Большой Q делает провал уже, но уменьшает подавление при уходе помехи от центра. При выборе параметров полезно проверить два случая: ближайшую частоту полезного сигнала и наибольшее ожидаемое отклонение частоты помехи от номинала. Эти проверки используют разные точки одной амплитудной кривой.

Как пользоваться формулой

Определите частоту нуля и добротность. Проверьте, совпадает ли частота нуля с собственной частотой знаменателя.
Найдите отношение f/f₀ и вычислите абсолютное значение разности 1−r² для числителя формулы.
По квадратам вещественной и мнимой частей найдите модуль знаменателя и разделите на него числитель.
Если важна ширина, разделите f₀ на Q. Для изменения уровня в децибелах вычислите 20·lg модуля.

Историческая справка

Режекторные RC-схемы использовали компенсацию сигналов от частотно-зависимых путей. В классической схеме Twin-T две Т-образные ветви образуют частотный провал при согласованных номиналах. Материалы Analog Devices по Twin-T показывают, как обратная связь меняет форму провала и почему допуски элементов важны для глубины подавления.

В руководстве A Filter Primer тот же тип отклика описан общей передаточной функцией второго порядка, где нуль и собственная частота могут различаться. При их совпадении расчёт сводится к одной центральной частоте и добротности. Такая модель позволяет сравнивать схемы независимо от конкретного набора резисторов и конденсаторов.

Историческая линия формулы

Формула относится к частному случаю стандартного режекторного звена второго порядка. Она получается из модели с совпадающими частотами полюсной пары и нуля передачи. История схем Twin-T даёт пример реализации, а выражение для модуля следует из передаточной функции.

Пример

У идеального фильтра f₀=1000 Гц и Q=2. Найдём модуль передачи полезного сигнала на 500 Гц и ширину провала по уровню −3,01 дБ. При r=0,5 числитель равен 1−0,25=0,75, а мнимая часть знаменателя 0,5/2=0,25. Поэтому |H|=0,75/√(0,75²+0,25²)=√0,9≈0,9487. Уровень равен 20·lg(0,9487)≈−0,46 дБ. Ширина провала составляет 1000/2=500 Гц. Отношение амплитуд безразмерно и не превосходит единицы. На частоте 500 Гц сигнал лежит ниже полосы провала и ослабляется меньше чем на 3,01 дБ. В центре провала при тех же параметрах модуль равен нулю.

Частая ошибка

Не рассчитывайте изменение уровня как 10·lg модуля, используйте 20·lg. На частоте точного нуля логарифм модуля не конечен. При большом Q провал уже, поэтому уход помехи может быть существенен. Не вычисляйте границы как арифметически симметричные вокруг f₀.

Практика

Задачи с решением

Подавление на центральной частоте

Условие. Чему равна выходная амплитуда на f=f₀ при входной амплитуде 2 В и Q=5?

Решение. При r=1 числитель ноль, а знаменатель равен 1/5. Модуль передачи равен нулю.

Ответ. 0 В в идеальной модели.

Добротность для узкого провала

Условие. Для подавления сетевой составляющей требуется f₀=50 Гц и полоса уровня −3,01 дБ шириной 5 Гц. Найдите Q.

Решение. Из Δf=f₀/Q получаем Q=50/5=10. Такая полоса описывает расстояние между точками уровня −3,01 дБ.

Ответ. Q=10.

Дополнительные источники

https://www.analog.com/en/resources/technical-articles/a-filter-primer.html
https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-225.pdf

Связанные формулы

Физика

Полоса половинной мощности последовательной RLC-цепи

$\Delta f=f_+-f_-=\frac{R}{2\pi L},\qquad Q=\frac{f_0}{\Delta f}$

У последовательной RLC-цепи при постоянном напряжении полоса между двумя точками половинной мощности равна R/(2πL). Добротность сравнивает её с частотой резонанса.

Физика

Ослабление аналогового фильтра Баттерворта по частоте

$A(f)=10\log_{10}\!\left(1+\left(\frac{f}{f_c}\right)^{2n}\right)$

Ослабление аналогового ФНЧ Баттерворта относительно нулевой частоты зависит от отношения частоты к частоте среза и порядка фильтра.

Физика

Фазовый сдвиг RC-фильтра верхних частот

$\varphi(f)=\arctan\!\left(\frac1{2\pi fRC}\right)=\arctan\!\left(\frac{f_c}{f}\right),\qquad f_c=\frac1{2\pi RC}$

Фазовый сдвиг последовательной RC-цепи с выходом на резисторе равен арктангенсу отношения частоты среза к частоте сигнала. На любой положительной частоте выход опережает вход; при частоте среза угол равен +45°.