Все формулы РФ

Физика / Электричество

Фазовый сдвиг RC-фильтра верхних частот

Фазовый сдвиг последовательной RC-цепи с выходом на резисторе равен арктангенсу отношения частоты среза к частоте сигнала. На любой положительной частоте выход опережает вход; при частоте среза угол равен +45°.

Опубликовано: Обновлено:

ЭлектричествоСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаИнженерные измеренияКолебания и волны

Формула

$$\varphi(f)=\arctan\!\left(\frac1{2\pi fRC}\right)=\arctan\!\left(\frac{f_c}{f}\right),\qquad f_c=\frac1{2\pi RC}$$
Схема Фазовая характеристика RC-фильтра верхних частот
Фаза RC-фильтра верхних частотВыход на резисторе опережает вход: фаза уменьшается от 84 градусов при одной десятой частоты среза до 6 градусов при десятикратной частоте; при срезе она равна 45 градусам.Фаза φ, градусы+90°+45°0°0,1110Относительная частота f/fcfc: +45°Выход на R; схема без нагрузки

При малой положительной частоте выход почти опережает вход на 90°; на fc опережение равно 45°, а на высоких частотах стремится к 0°.

Обозначения

$φ(f)$
фаза выходного напряжения на R относительно входного; плюс означает опережение, рад или °
$f$
частота входной синусоиды; формула относится к f>0, Гц
$R$
резистор, на котором измеряется выходное напряжение, Ом
$C$
последовательно включённый конденсатор, Ф
$fc$
частота среза однополюсной цепи, при которой |H|=1/√2, Гц

Условия применения

Цепь состоит из последовательных C и R, подключённых к идеальному источнику переменного напряжения; выход измеряется на R. Нагрузка отсутствует либо её сопротивление намного больше R, а сопротивление источника мало по сравнению с R. Рассматривается установившаяся синусоида с f>0, идеальные компоненты и диапазон частот, где паразитными параметрами можно пренебречь. При этих условиях H(jω)=jωRC/(1+jωRC).

Ограничения

При нулевой частоте передаточная функция равна нулю, поэтому фаза полностью подавленного выхода не определена; +90° — лишь предел при приближении f к нулю справа. Конечное сопротивление источника и подключённая нагрузка меняют постоянную времени. У реального конденсатора есть ESR и утечка, а у проводников — паразитная индуктивность; на высоких частотах это отклоняет ответ от модели. Перевод угла в опережение по времени действителен только для указанной синусоиды и не задаёт единую задержку произвольного сигнала.

Подробное объяснение

В последовательной RC-цепи конденсатор включён перед резистором, а выход снимают с резистора. На низкой частоте ёмкостное сопротивление велико, ток мал и выходное напряжение почти исчезает. С ростом частоты ток увеличивается, поэтому цепь пропускает высокочастотную часть сигнала.

Импеданс конденсатора равен 1/(jωC). Делитель напряжения даёт H=R/(R+1/(jωC))=jωRC/(1+jωRC). Числитель имеет фазу +90°, а знаменатель — atan(ωRC); разность равна φ=90°−atan(ωRC). Для положительных частот это то же самое, что atan(1/(ωRC)) или atan(fc/f).

Внизу диапазона фаза стремится к +90°, а выше частоты среза уменьшается к 0°. На самой частоте среза fc=1/(2πRC) получаем +45°. При этом модуль |H|=x/√(1+x²), где x=f/fc; на срезе амплитуда составляет 0,707 входной, а не ноль.

Положительный знак — не условность, добавленная после вычисления: на выходном резисторе напряжение пропорционально току цепи, который в последовательной RC-цепи опережает напряжение на конденсаторе. Поэтому выходная синусоида смещена вперёд относительно входа. В измерителе знак также зависит от принятого порядка каналов «выход минус вход».

Угол можно перевести в фазовое опережение Δt=φ/(2πf), если φ задан в радианах. Например, при 45° это одна восьмая периода. Число секунд меняется с частотой, поэтому оно не равно постоянной задержке, пригодной для всех гармоник.

Выход на конденсаторе в той же последовательной цепи дал бы RC-фильтр низких частот с отрицательной фазой. Выбор измеряемого элемента меняет и частотную функцию, и интерпретацию угла; перед подстановкой полезно проверить схему делителя, а не ориентироваться только на надпись «RC».

Как пользоваться формулой

  1. Убедитесь, что конденсатор стоит последовательно, резистор соединён с общим проводом, а выход измеряется именно на резисторе.
  2. Переведите R в омы, C в фарады, f в герцы и проверьте, что f положительна; нулевая частота даёт нулевой выход.
  3. Вычислите fc=1/(2πRC) либо x=2πfRC; обе величины позволят проверить, находится ли сигнал ниже или выше среза.
  4. Найдите φ=arctan(1/x) и укажите градусы или радианы; положительный угол означает, что выход опережает вход.
  5. Для амплитуды отдельно вычислите |H|=x/√(1+x²) и умножьте его на входную амплитуду.
  6. Если нужен сдвиг во времени, используйте Δt=φ/(2πf) только для этой частоты и переведите угол в радианы.

Историческая справка

Электрические фильтры стали практической задачей вместе с развитием многоканальной телефонной связи: требовалось выделять частотные полосы и уменьшать взаимные помехи. Джордж Эшли Кэмпбелл подал в 1915 году заявку на патент электрического волнового фильтра; патент США № 1 227 113 выдали 22 мая 1917 года. Это документирует раннее развитие фильтров как класса устройств, но не означает, что Кэмпбелл изобрёл простую последовательную RC-цепь или её фазовую формулу.

Сегодня комплексное представление импедансов позволяет вывести для этой схемы одновременно амплитудную и фазовую характеристики. В учебном материале Университета Колорадо отдельно показаны оба варианта последовательной RC-цепи: выход на конденсаторе образует НЧ-фильтр, а выход на резисторе — ВЧ-фильтр. При одинаковых R и C частота среза совпадает, хотя пределы фазы различаются.

Исторический пример телеграфии связан и с работами Оливера Хевисайда над линиями передачи. Он развивал математическое описание электрических сигналов в линиях и в 1887 году предложил распределённые загрузочные катушки для уменьшения искажений. Это близкий инженерный контекст частотного анализа, но распределённая линия не тождественна сосредоточенной RC-цепи из формулы. Поэтому фазу здесь корректнее связывать с общим методом анализа линейных цепей, а не с единственным автором.

Историческая линия формулы

Формула фазы последовательной RC-цепи не имеет надёжно установленного единственного автора: она следует из импеданса конденсатора и делителя напряжения. Кэмпбелл связан с ранними волновыми фильтрами связи; его патент 1917 года не является источником именно этой RC-формулы.

Пример

Последовательная RC-цепь не нагружена: R=10 кОм, C=10 нФ; на вход подана синусоида 1,00 кГц с амплитудой 2,00 В. Найдём фазу и амплитуду выхода, снятого на резисторе. Произведение RC=10000·10·10⁻⁹=100 мкс, поэтому fc=1/(2πRC)≈1591,55 Гц. Отношение x=f/fc≈0,628319. Угол φ=arctan(1/x)≈57,858°. Следовательно, выход на резисторе опережает вход примерно на 57,86°. Модуль передачи |H|=x/√(1+x²)≈0,532018. Тогда амплитуда выхода 2,00·0,532018≈1,064 В. Опережение по времени для этой синусоиды равно 57,858°/(360°·1000 Гц)≈160,7 мкс. Проверка: произведение fRC безразмерно; при f=fc получаются x=1, φ=45° и |H|=1/√2. При f ниже среза найденная амплитуда действительно меньше 0,707 входной.

Частая ошибка

Не подставляйте частоту в радианах вместо герц или наоборот: ω=2πf. Не снимайте выход с конденсатора, если нужна фаза RC-фильтра верхних частот: получится НЧ-цепь и знак будет противоположным. Не приписывайте выходу фазу +90° ровно при f=0 — при полном подавлении его фаза не определена. Не путайте фазу с амплитудным коэффициентом: на срезе угол равен 45°, а амплитуда — 0,707 входной. Не игнорируйте конечную нагрузку при измерениях высокоомным источником или щупом.

Практика

Задачи с решением

Выход на частоте среза

Условие. R=10 кОм, C=10 нФ, входная амплитуда 4,0 В. Для ненагруженной цепи найдите частоту среза, фазу и амплитуду на резисторе.

Решение. fc=1/(2πRC)≈1591,55 Гц. На срезе x=1, поэтому φ=arctan(1)=+45°. |H|=1/√2≈0,7071; Uвых≈4,0·0,7071=2,83 В.

Ответ. fc≈1,592 кГц; выход опережает на 45°, амплитуда ≈2,83 В.

Сигнал ниже среза

Условие. Ненагруженный фильтр имеет R=4,7 кОм и C=47 нФ. При f=500 Гц и амплитуде входа 1,5 В найдите фазу и амплитуду выхода на R.

Решение. x=2πfRC≈0,693978. Тогда φ=arctan(1/x)≈55,24°. |H|=x/√(1+x²)≈0,570137; Uвых≈1,5·0,570137=0,855 В.

Ответ. Фаза ≈+55,24°; амплитуда выхода ≈0,855 В.

Калькулятор

Фаза и амплитуда RC-цепи

Укажите сопротивление в кОм, ёмкость в нФ, частоту в кГц и амплитуду входа в вольтах. Выход снимается с R.

Заполнить примером:
Введите значенияКалькулятор покажет ответ, промежуточные величины и ход подстановки.
  • Пресет должен дать фазу около +57,858° и выходную амплитуду около 1,064 В. Паразитные параметры и нагрузка не учитываются.

Дополнительные источники

  • https://physicslabs.colorado.edu/courses/phys-3330/lab-guides/lab3/
  • https://www.analog.com/en/resources/analog-dialogue/articles/phase-response-in-active-filters-2.html
  • https://physics.wm.edu/~evmik/classes/2021_spring_Analog_Electronics_Physics_252/lecture04/lecture04_presentation.pdf
  • https://patents.google.com/patent/US1227113A/en
  • https://www.aps.org/apsnews/2010/02/1925-death-of-oliver-heaviside

Связанные формулы

Физика

Фазовый сдвиг RC-фильтра низких частот

$\varphi(f)=-\arctan(2\pi fRC)=-\arctan\!\left(\frac{f}{f_c}\right),\qquad f_c=\frac1{2\pi RC}$

Фазовый сдвиг ненагруженного RC-фильтра низких частот равен отрицательному арктангенсу отношения частоты сигнала к частоте среза. Формула показывает, насколько выходное напряжение отстаёт от входного в установившемся синусоидальном режиме.

Физика

Закон Ома для переменного тока

$I=\frac{U}{Z}$

Закон Ома для переменного тока: формула I=\frac{U}{Z} помогает связать ток, напряжение, сопротивление или проводимость. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Физика

Ёмкость конденсатора

$C=\frac{q}{U}$

Электрическая емкость конденсатора равна отношению заряда одной обкладки к напряжению между обкладками и показывает способность накапливать заряд.

Физика

Активная мощность переменного тока

$P=UI\cos\varphi$

Активная мощность в цепи переменного тока равна произведению действующих значений напряжения и тока на коэффициент мощности cos φ.