Все формулы РФ

Физика / Электричество

Ослабление аналогового фильтра Баттерворта по частоте

Ослабление аналогового ФНЧ Баттерворта относительно нулевой частоты зависит от отношения частоты к частоте среза и порядка фильтра.

Опубликовано: Обновлено:

Ручной расчетСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаДиагностика условий

Формула

$$A(f)=10\log_{10}\!\left(1+\left(\frac{f}{f_c}\right)^{2n}\right)$$
Схема Ослабление фильтров двух порядков
00.511.522.53051015202530A, дБf/fcn=1n=3

Кривые пересекаются при f/f_c=1 на уровне 3,01 дБ. За срезом третий порядок даёт более сильное ослабление.

Обозначения

$A(f)$
положительное ослабление относительно f=0, дБ
$f$
частота сигнала, Гц
$f_c$
частота среза, на которой ослабление около 3,01 дБ, Гц
$n$
целый положительный порядок фильтра, —

Условия применения

Рассматривается идеальный аналоговый ФНЧ Баттерворта. Усиление нормировано по значению на нулевой частоте. Частоты f≥0 и f_c>0 выражены в одинаковых единицах, порядок n — целое положительное число.

Ограничения

Для цифрового фильтра с преобразованием частот простая подстановка отношения f/f_c в общем случае неверна. Реальные каскады дают отклонения из-за допусков и полосы усилителей. Формула описывает модуль, а для расчёта задержки требуется фазовая характеристика.

Подробное объяснение

Квадрат нормированного модуля передаточной функции равен 1/(1+(f/f_c)^(2n)). На постоянном токе он равен единице. Относительное ослабление в децибелах получается как минус десять десятичных логарифмов от этого квадрата.

На частоте среза степень отношения равна единице для любого порядка, поэтому A=10·lg 2. Порядок влияет на форму кривой по обе стороны среза. При f<f_c повышение порядка уменьшает потерю, при f>f_c повышает ослабление.

Далеко за частотой среза единицей в сумме можно пренебречь, и A приближается к 20n·lg(f/f_c). При росте частоты в десять раз ослабление растёт примерно на 20n дБ. Около среза пользуются точным выражением.

Для заданной частоты помехи выше среза можно решить неравенство по n. Результат округляют вверх до целого и проверяют подстановкой. Для реальной схемы затем подбирают каскады с нужными полюсами: произвольные одинаковые звенья редко дают характеристику Баттерворта.

Как пользоваться формулой

  1. Задайте частоту среза и выразите частоту сигнала в тех же единицах, прежде чем вычислять отношение.
  2. Возведите отношение f/f_c в степень 2n и добавьте единицу, сохраняя точность промежуточного результата.
  3. Возьмите десятичный логарифм суммы и умножьте на десять. Результат представляет положительное ослабление.
  4. Если требуется амплитудный коэффициент, вычислите 10 в степени −A/20 и умножьте на усиление при f=0.

Историческая справка

Стивен Баттерворт в октябре 1930 года опубликовал статью On the Theory of Filter Amplifiers. Он исследовал соединение простых фильтрующих звеньев, разделённых усилительными лампами. Один из важных результатов состоял в выборе отклика, который сохраняет плоскую амплитуду вблизи нулевой частоты и монотонно спадает дальше.

В современных руководствах амплитудное условие отделяют от реализации. У Analog Devices расположение полюсов Баттерворта показано на полуокружности, а в руководстве Texas Instruments приведены параметры каскадов. Это позволяет перейти от требования к ослаблению к номиналам отдельных звеньев. Требования к частоте среза при этом относятся ко всему фильтру.

Историческая линия формулы

Имя Баттерворта относится к форме частотной характеристики, представленной в работе 1930 года. Выражение с логарифмом описывает тот же нормированный модуль в децибелах. Практические реализации могут использовать разные схемы и сохранять одинаковую целевую форму отклика.

Пример

ФНЧ Баттерворта третьего порядка имеет срез 1 кГц. Требуется найти ослабление синусоидальной помехи на 2 кГц и отношение её выходной амплитуды к амплитуде без ослабления. Частотное отношение равно 2. Возводим его в степень 2·3=6 и получаем 64. Ослабление A=10·lg(65)≈18,13 дБ. Нормированный модуль равен 1/√65≈0,1240. Отношение частот безразмерно. Ослабление больше 3,01 дБ, поскольку частота находится за срезом. При усилении на постоянном токе, равном единице, из входной амплитуды 1 В на выходе останется примерно 0,124 В.

Частая ошибка

Квадрат модуля переводят в децибелы множителем 10, а сам модуль множителем 20. Не подставляйте частоту среза в герцах при частоте сигнала в килогерцах. Не путайте положительное ослабление и отрицательное изменение уровня. Наклон 20n дБ на декаду применим вдали от среза.

Практика

Задачи с решением

Ослабление при утроении частоты

Условие. Найдите ослабление ФНЧ второго порядка на частоте 3f_c.

Решение. Частотное отношение равно 3, степень 2n=4, поэтому A=10·lg(1+81)=10·lg 82≈19,14 дБ.

Ответ. 19,14 дБ.

Порядок для 30 дБ

Условие. На частоте 2f_c требуется не менее 30 дБ ослабления. Найдите минимальный целый порядок.

Решение. Необходимо 1+2^(2n)≥1000. Для n=4 сумма 257 и условие нарушено. Для n=5 сумма 1025 и A≈30,11 дБ. Ослабление растёт с n, поэтому порядок минимален.

Ответ. n=5.

Дополнительные источники

  • https://people.eecs.ku.edu/~demarest/212/Buttorworth%20Orig.%20Paper.pdf
  • https://www.analog.com/en/resources/technical-articles/a-filter-primer.html
  • https://www.ti.com/lit/an/sloa049d/sloa049d.pdf

Связанные формулы

Физика

Фазовый сдвиг RC-фильтра низких частот

$\varphi(f)=-\arctan(2\pi fRC)=-\arctan\!\left(\frac{f}{f_c}\right),\qquad f_c=\frac1{2\pi RC}$

Фазовый сдвиг ненагруженного RC-фильтра низких частот равен отрицательному арктангенсу отношения частоты сигнала к частоте среза. Формула показывает, насколько выходное напряжение отстаёт от входного в установившемся синусоидальном режиме.