Физика / Электричество

Добротность ФНЧ Саллена — Ки при равных номиналах

В активном фильтре Саллена — Ки с двумя одинаковыми резисторами и двумя одинаковыми конденсаторами добротность задаёт усиление K, а собственную частоту задаёт RC.

Опубликовано: 9 ноября 2026 г.Обновлено: 9 ноября 2026 г.

Формула

Q=\frac{1}{3-K},\qquad f_0=\frac{1}{2\pi RC}

Схема Нормированная амплитуда активного звена

Изменение K с 1 до 2,2 повышает добротность с 0,5 до 1,25. Точки при f/f₀=1 показывают значения Q.

Обозначения

$Q$: добротность пары полюсов, —
$K$: коэффициент неинвертирующего усилителя, —
$R$: номинал каждого резистора фильтра, Ом
$C$: номинал каждого конденсатора, Ф
$f₀$: собственная частота звена, Гц

Условия применения

Используется схема ФНЧ Саллена — Ки с R₁=R₂ и C₁=C₂ и идеальным неинвертирующим усилителем. Для обычного такого усилителя 1≤K<3. Сопротивление источника мало, нагрузка не меняет параметры звена.

Ограничения

Если номиналы различны, используют общее выражение для Q. В реальной схеме влияют допуски компонентов и полоса операционного усилителя. При K близком к трём расчётная добротность очень чувствительна к ошибке усиления и паразитным фазовым сдвигам.

Подробное объяснение

Сопротивления и ёмкости задают время RC. В нормированной передаточной функции постоянный и квадратичный члены знаменателя образуют собственную частоту, а коэффициент при первой степени задаёт затухание. При изменении K именно этот член первым реагирует на настройку.

При равных номиналах знаменатель записывается как (sRC)²+(3−K)sRC+1. Сопоставление со стандартной формой (s/ω₀)²+s/(Qω₀)+1 даёт Q=1/(3−K). Увеличение усиления уменьшает затухание без изменения f₀ в идеальной модели.

На f₀ модуль передачи, отнесённый к усилению на постоянном токе, равен Q. Для Q=1/√2 там получается спад 3,01 дБ, как у звена Баттерворта. При ином Q частота уровня −3 дБ обычно отличается от собственной.

В инженерном расчёте сначала выбирают Q из характеристики фильтра, затем рассчитывают K=3−1/Q. Если заданное усиление несовместимо с требуемым Q, можно изменить отношение номиналов или перераспределить усиление между каскадами.

Как пользоваться формулой

Убедитесь, что схема соответствует ФНЧ Саллена — Ки и пары номиналов R и C одинаковы между собой.
Определите K по резисторам отрицательной обратной связи усилителя и проверьте, что K меньше трёх.
Вычислите добротность как обратную величину разности 3−K, не округляя K до подстановки.
По произведению RC найдите собственную частоту. Отдельно проверьте, совпадает ли она с частотой среза.

Историческая справка

Рой Саллен и Эдвин Ки описали практический метод проектирования активных RC-фильтров в отчёте лаборатории Линкольна Массачусетского технологического института в 1954 году. Сокращённая статья вышла в IRE Transactions on Circuit Theory в марте 1955 года. Введение объясняет, почему на низких частотах хотелось отказаться от катушек с заметными потерями.

В современных схемах роль активного элемента выполняет операционный усилитель. В руководстве Texas Instruments по активным ФНЧ отдельно выведены коэффициенты для различных номиналов. При равных парах номиналов выражение упрощается и позволяет выбрать добротность изменением усиления. Это пример расчёта номиналов по положению полюсов.

Историческая линия формулы

Название схемы связано с работой Саллена и Ки 1954–1955 годов. Соотношение Q=1/(3−K) является частным случаем формулы для ФНЧ с равными парами компонентов. Современная запись следует из нормировки коэффициентов знаменателя передаточной функции.

Пример

Для активного звена взяты R=10 кОм, C=10 нФ. Неинвертирующее усиление установлено на 1,586. Найдём собственную частоту и добротность. Произведение RC=10⁴·10⁻⁸=10⁻⁴ с. Поэтому f₀=1/(2π·10⁻⁴)≈1591,55 Гц. Добротность равна 1/(3−1,586)=1/1,414≈0,70721. Это близко к 1/√2 для Баттерворта. Проверка: ом, умноженный на фарад, даёт секунду. Нормированная амплитуда на f₀ близка к 0,707, поэтому при таком выборе усиления собственная частота практически совпадает с частотой уровня −3,01 дБ. При K=1 такой вывод был бы неверен.

Частая ошибка

Усиление K берут для неинвертирующего каскада, включая единицу. Не подставляйте K=3: в модели линейное затухание исчезает. Добротность безразмерна. Не называйте f₀ частотой среза автоматически: сначала проверьте форму амплитудной характеристики и используемое относительное усиление.

Практика

Задачи с решением

Повторитель вместо усилителя

Условие. Чему равны добротность и нормированный модуль на f₀, если усилитель работает повторителем?

Решение. Для K=1 добротность равна 1/(3−1)=0,5. В нормированном знаменателе при f=f₀ остаётся член с модулем 1/Q. Нормированный модуль равен 0,5.

Ответ. Q=0,5, модуль 0,5.

Усиление для Q=1,25

Условие. Какое неинвертирующее усиление нужно для Q=1,25? Проверьте условие положительного затухания.

Решение. K=3−1/1,25=3−0,8=2,2. Разность 3−K=0,8 положительна.

Ответ. K=2,2 в идеальной модели.

Дополнительные источники

https://consort3.wordpress.com/wp-content/uploads/2016/06/SallenKey.pdf
https://www.ti.com/lit/an/sloa049d/sloa049d.pdf
https://www.analog.com/en/resources/app-notes/an-649.html

Связанные формулы

Физика

Ослабление аналогового фильтра Баттерворта по частоте

$A(f)=10\log_{10}\!\left(1+\left(\frac{f}{f_c}\right)^{2n}\right)$

Ослабление аналогового ФНЧ Баттерворта относительно нулевой частоты зависит от отношения частоты к частоте среза и порядка фильтра.

Физика

Фазовый сдвиг RC-фильтра низких частот

$\varphi(f)=-\arctan(2\pi fRC)=-\arctan\!\left(\frac{f}{f_c}\right),\qquad f_c=\frac1{2\pi RC}$

Фазовый сдвиг ненагруженного RC-фильтра низких частот равен отрицательному арктангенсу отношения частоты сигнала к частоте среза. Формула показывает, насколько выходное напряжение отстаёт от входного в установившемся синусоидальном режиме.

Физика

Групповая задержка RC-фильтра низких частот

$\tau_g(\omega)=-\frac{d\varphi}{d\omega}=\frac{RC}{1+(\omega RC)^2},\qquad\tau_p(\omega)=-\frac{\varphi(\omega)}{\omega}=\frac{\arctan(\omega RC)}{\omega}$

Групповая задержка однополюсного RC-фильтра низких частот равна −dφ/dω и составляет RC/[1+(ωRC)²]. Она описывает локальный сдвиг огибающей узкополосного сигнала; фазовая задержка отдельной синусоиды задаётся другой формулой — −φ/ω.