Физика / Электричество

Групповая задержка RC-фильтра низких частот

Групповая задержка однополюсного RC-фильтра низких частот равна −dφ/dω и составляет RC/[1+(ωRC)²]. Она описывает локальный сдвиг огибающей узкополосного сигнала; фазовая задержка отдельной синусоиды задаётся другой формулой — −φ/ω.

Опубликовано: 8 ноября 2026 г.Обновлено: 8 ноября 2026 г.

Формула

\tau_g(\omega)=-\frac{d\varphi}{d\omega}=\frac{RC}{1+(\omega RC)^2},\qquad\tau_p(\omega)=-\frac{\varphi(\omega)}{\omega}=\frac{\arctan(\omega RC)}{\omega}

Схема Групповая и фазовая задержки RC-фильтра

Обе задержки нормированы на RC и совпадают только в низкочастотном пределе. На частоте среза групповая задержка равна 0,5RC, фазовая — πRC/4.

Обозначения

$τg(ω)$: групповая задержка, минус производная непрерывной фазы по угловой частоте, с
$τp(ω)$: фазовая задержка отдельной синусоидальной составляющей, равная −φ/ω, с
$φ(ω)$: фаза передачи RC-фильтра, φ=−arctan(ωRC), рад
$ω=2πf$: угловая частота сигнала или центра узкой полосы, рад/с
$R$: последовательное сопротивление фильтра, Ом
$C$: ёмкость конденсатора на выходе, Ф
$RC$: постоянная времени фильтра и низкочастотный предел обеих задержек, с

Когда применять

Расчёт нужен, когда важно оценить, насколько фильтр сдвигает во времени узкополосный импульс или пакет около заданной несущей частоты. Для RC-цепи групповой задержке не равна просто доля периода, полученная из фазы синусоиды: первая определяется наклоном фазовой характеристики, вторая — отношением угла к частоте. Их сравнение показывает, насколько форма сигнала может искажаться, если разные частотные составляющие имеют заметно разные задержки.

Условия применения

Фильтр — последовательный резистор R с конденсатором C на землю; выход снимается на конденсаторе без существенной нагрузки. Источник близок к идеальному, компоненты линейны и постоянны, а анализ проводится для установившегося синусоидального отклика при ω≥0. Групповую задержку импульса трактуют как локальное время сдвига его огибающей, когда спектр сигнала достаточно узок около рассматриваемой частоты. Фаза берётся непрерывной, без скачков при разворачивании аргумента.

Ограничения

Групповая задержка не равна задержке произвольного широкополосного сигнала, если она заметно меняется внутри спектра этого сигнала. Фазовая задержка описывает отдельную гармонику; групповой производной по ω при ω=0 можно воспользоваться по непрерывному пределу, хотя фазовая задержка там определяется также пределом отношения. На высоких частотах RC-фильтр сильно ослабляет сигнал, поэтому измеренная фаза и её производная становятся чувствительными к шуму. Нагрузка, сопротивление источника и паразитные параметры изменяют фазовую характеристику и обе задержки.

Подробное объяснение

Для ненагруженной RC-цепи с выходом на конденсаторе передаточная функция H(jω)=1/(1+jωRC), а её фаза равна φ(ω)=−arctan(ωRC). Групповая задержка определяется как минус производная этой непрерывной фазы по угловой частоте: τg=−dφ/dω. Дифференцирование даёт RC/[1+(ωRC)²].

Это не та же величина, что фазовая задержка τp=−φ/ω=arctan(ωRC)/ω. Фазовая задержка отвечает на вопрос, на сколько секунд сдвинулась бы одна синусоида данной частоты, если её угол представить временным смещением. Групповая задержка оценивает, как меняется фаза у соседних частотных составляющих, и поэтому связана с движением огибающей узкополосного пакета.

Удобно ввести x=ωRC. Тогда τg/RC=1/(1+x²), а τp/RC=arctan(x)/x. На низкой частоте обе величины стремятся к RC. На частоте среза x=1 групповая задержка уже равна RC/2, тогда как фазовая составляет πRC/4≈0,785RC. Разница не исчезает от того, что обе измеряются в секундах.

При росте частоты τg монотонно уменьшается к нулю: фазовая кривая становится положе. Фазовая задержка тоже уменьшается, но медленнее. Поэтому если на вход подать пакет вокруг частоты среза, его огибающая сместится приблизительно на τg(fc), а фаза несущей даст другое число τp(fc). Для точного прогноза широкого импульса одного скалярного времени недостаточно.

Знак минус в определении важен: фаза RC-фильтра отрицательна и убывает с ω, поэтому групповая задержка получается положительной. Если дифференцировать фазу по частоте f, а не по ω, потребуется множитель 1/(2π): τg=−(1/2π)dφ/df. Используйте одну частотную переменную и согласованные радианы.

Формула предполагает, что фазу можно гладко развернуть на рассматриваемом диапазоне. График фазы может показывать эквивалентные углы с добавлением 360°, но производную вычисляют по непрерывной кривой, а не через искусственный скачок отображения.

Как пользоваться формулой

Проверьте схему: R последовательно с источником, C на землю и выход на C; учтите нагрузку и сопротивление генератора, если они не малы.
Переведите R в омы, C в фарады и найдите постоянную времени τ=RC в секундах; частоту сигнала задайте через ω=2πf.
Вычислите x=ωRC и подставьте его в групповую задержку τg=RC/(1+x²), сохраняя угловую частоту в рад/с.
Для сравнения найдите фазу φ=−arctan(x), затем фазовую задержку τp=−φ/ω; обе задержки должны получиться в секундах.
Сравните τg и τp на нужной частоте: на срезе они равны RC/2 и πRC/4 соответственно, а не одному значению.
Интерпретируйте τg как локальное смещение огибающей узкополосного сигнала; для широкой полосы проверьте изменение задержки по всему спектру.

Историческая справка

В телеграфии и телефонии инженеров давно интересовал не только уровень сигнала на выходе линии, но и сохранение формы передаваемого импульса. Оливер Хевисайд в 1887 году предложил устанавливать загрузочные катушки вдоль телефонных линий: изменение распределённой индуктивности могло уменьшить искажение и выровнять распространение разных частот. История линий передачи не тождественна однозвенному RC-фильтру, но она показывает практическую причину изучать частотную зависимость фазы и времени.

Современный термин «групповая задержка» описывает отрицательный наклон непрерывной фазовой характеристики по угловой частоте. В инженерных справочниках его сопоставляют с фазовой задержкой — минус фазой, делённой на частоту. Это различие позволяет отделить сдвиг несущей от сдвига огибающей и объяснить, почему нелинейная фаза меняет форму широкополосного сигнала.

Для RC-фильтра обе характеристики можно вывести без дополнительных допущений из H(jω)=1/(1+jωRC). Низкочастотный предел совпадает и равен RC, однако при ненулевой частоте наклон фазовой кривой и средний угол дают разные времена. У групповой задержки нет отдельного исторического автора, связанного именно с этой RC-формулой: это современное применение общего определения к известной передаточной функции.

Историческая линия формулы

Групповая задержка −dφ/dω — общее определение из анализа частотных характеристик, а RC-выражение получается дифференцированием φ=−arctan(ωRC). Формулу не следует приписывать Хевисайду: его загрузочные катушки относились к распределённым телефонным линиям, а не к этому однозвенному фильтру.

Пример

Ненагруженный RC-фильтр имеет R=10 кОм и C=10 нФ. Рассмотрим синусоидальный пакет с центральной частотой f=1,00 кГц и сравним групповую задержку с фазовой задержкой его несущей. Постоянная времени RC=10000·10·10⁻⁹=100 мкс, угловая частота ω=2π·1000≈6283,19 рад/с. Нормированная частота x=ωRC≈0,628319. Групповая задержка τg=100 мкс/(1+0,628319²)≈71,696 мкс. Фаза несущей φ=−arctan(0,628319)≈−0,5610 рад. Поэтому её фазовая задержка τp=−φ/ω≈89,283 мкс. Числа различаются примерно на 17,59 мкс: задержка огибающей узкой группы определяется наклоном φ(ω), а временное смещение одной синусоиды — отношением φ/ω. Проверка на пределе: при f→0 обе задержки стремятся к RC=100 мкс. На частоте среза fс≈1591,55 Гц формулы дают τg=50 мкс и τp≈78,540 мкс. Следовательно, подмена одной задержки другой заметна уже у полосы среза; единицы в обоих вычислениях — секунды.

Частая ошибка

Не называйте −φ/ω групповой задержкой: это фазовая задержка отдельной гармоники. Не забывайте минус в τg=−dφ/dω; для RC-НЧ-фильтра производная фазы отрицательна, а задержка положительна. Не дифференцируйте по герцам, сохраняя формулу для рад/с без множителя 1/(2π). Не переносите локальную групповую задержку узкополосного пакета на широкий сигнал без проверки её изменения по полосе. Не считайте их равными на частоте среза: там τg=RC/2, а τp=πRC/4.

Практика

Задачи с решением

Сравнение на частоте среза

Условие. Для ненагруженного RC-фильтра R=20 кОм, C=5,0 нФ. Найдите fс, групповую задержку и фазовую задержку на этой частоте.

Решение. RC=100 мкс, поэтому fс=1/(2πRC)≈1591,55 Гц. При x=1 групповая задержка τg=RC/2=50,0 мкс. Фазовая задержка τp=(π/4)/ωс=πRC/4≈78,540 мкс.

Ответ. fс≈1,592 кГц; τg=50,0 мкс; τp≈78,540 мкс.

Пакет ниже среза

Условие. R=4,7 кОм, C=10 нФ; центр узкополосного пакета f=2,00 кГц. Найдите τg и сравните с фазовой задержкой τp.

Решение. RC=47 мкс; x=2πfRC≈0,590619. τg=47/(1+0,590619²)≈34,845 мкс. τp=arctan(x)/(2πf)≈42,45 мкс.

Ответ. Групповая задержка ≈34,84 мкс; фазовая задержка ≈42,45 мкс.

Калькулятор

Сравнить две задержки RC-фильтра

Введите R в кОм, C в нФ и частоту f в кГц. Результат показывает локальную групповую задержку и фазовую задержку несущей.

Сопротивление R · кОмЁмкость C · нФЧастота f · кГц

Заполнить примером:

Введите значенияКалькулятор покажет ответ, промежуточные величины и ход подстановки.

Пресет должен показать τg≈71,696 мкс и τp≈89,283 мкс. Групповая задержка представляет сдвиг огибающей только для достаточно узкой полосы около f.

Дополнительные источники

https://disalw3.epfl.ch/teaching/signals_instruments_systems/ay_2025-26/lecture/SIS_25-26_W05_lecture.pdf
https://www.mathworks.com/help/signal/ug/delay.html
https://www.mathworks.com/help/signal/ref/phasedelay.html
https://www.aps.org/apsnews/2010/02/1925-death-of-oliver-heaviside
https://patents.google.com/patent/US1227113A/en

Связанные формулы

Физика

Фазовый сдвиг RC-фильтра низких частот

$\varphi(f)=-\arctan(2\pi fRC)=-\arctan\!\left(\frac{f}{f_c}\right),\qquad f_c=\frac1{2\pi RC}$

Фазовый сдвиг ненагруженного RC-фильтра низких частот равен отрицательному арктангенсу отношения частоты сигнала к частоте среза. Формула показывает, насколько выходное напряжение отстаёт от входного в установившемся синусоидальном режиме.

Физика

Фазовый сдвиг RC-фильтра верхних частот

$\varphi(f)=\arctan\!\left(\frac1{2\pi fRC}\right)=\arctan\!\left(\frac{f_c}{f}\right),\qquad f_c=\frac1{2\pi RC}$

Фазовый сдвиг последовательной RC-цепи с выходом на резисторе равен арктангенсу отношения частоты среза к частоте сигнала. На любой положительной частоте выход опережает вход; при частоте среза угол равен +45°.

Физика

Тепловой шум резистора: формула Джонсона—Найквиста

$u_{n,\mathrm{rms}}=\sqrt{4k_{\mathrm B}TRB}$

Формула Джонсона—Найквиста определяет среднеквадратическое напряжение теплового шума резистора по температуре, сопротивлению и эквивалентной шумовой полосе измерения.

Физика

Дробовой шум фототока: среднеквадратический ток

$i_{n,\mathrm{rms}}=\sqrt{2q(I_{\mathrm{ph}}+I_{\mathrm d})B}$

Дробовой шум фотодиода возникает из-за случайного прихода дискретных зарядов. Его среднеквадратический ток определяется суммой среднего фототока и тёмного тока и шумовой полосой.