Все формулы РФ

Аналитика / Описательная статистика

Геометрическое среднее: произведение и темпы изменения

Геометрическое среднее заменяет набор положительных множителей одним одинаковым множителем, сохраняя их произведение. Для последовательных изменений оно усредняет коэффициенты роста, а не проценты напрямую.

Опубликовано: Обновлено:

Среднее, медианаСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаГрафики, таблицы

Формула

$$G=\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{1/n}=\exp\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln x_i\right)$$
График Средний коэффициент G и Второй коэффициент
Средний коэффициент G и Второй коэффициентСредний коэффициент G00,50,3620,750,72411,091,251,451,5Второй коэффициент

Первый коэффициент 1,2. Среднее сохраняет произведение двух последовательных изменений, G²=1,2x.

Обозначения

$G$
геометрическое среднее, единица исходных величин
$xᵢ$
строго положительное исходное значение, единица исходных величин
$n$
число значений, шт.

Условия применения

Все значения должны быть положительными. При использовании логарифмов величины представляют численными значениями в общей выбранной единице; коэффициенты роста безразмерны. Для невзвешенного среднего каждому наблюдению соответствует одинаковый вес, а при усреднении роста — одинаковая длительность периода.

Ограничения

Нельзя брать логарифм нуля или отрицательного числа в вещественной форме этой формулы. Проценты снижения могут быть отрицательны, но в произведение входят положительные коэффициенты 1+r. При разных длительностях периодов простой корень степени n не даёт годовой темп без пересчёта времени.

Подробное объяснение

Пусть нужно заменить x₁,…,xₙ одинаковыми числами G так, чтобы произведение сохранилось. Получаем Gⁿ=x₁x₂…xₙ. Поскольку все значения положительны, положительный корень единственен: G=(x₁x₂…xₙ)^(1/n). Таким образом, это среднее сохраняет произведение, тогда как арифметическое сохраняет сумму.

Логарифм переводит произведение в сумму. После логарифмирования n ln G=Σln xᵢ; деление на n и экспонента дают вторую форму. Она позволяет считать длинные наборы без переполнения промежуточного произведения, если логарифмы и сумма вычисляются достаточно точно.

Для роста на r процентов используют x=1+r/100. Рост на 20% означает множитель 1,2, снижение на 20% — множитель 0,8. Их произведение 0,96 показывает итоговую потерю 4%; нулевое арифметическое среднее процентов не сохраняет конечную величину.

Для положительных чисел G не превышает арифметическое среднее. При двух числах равенство sqrt(ab)≤(a+b)/2 следует из (sqrt(a)−sqrt(b))²≥0. Равенство возможно лишь при a=b; аналогичный результат действует для n значений.

Геометрическое среднее не следует путать с медианой: сортировка не входит в определение, но произведение учитывает каждое значение. Для двух одинаковых измерений G равно этому измерению, а при умножении всех xᵢ на положительный коэффициент c среднее также умножается на c.

Как пользоваться формулой

  1. Определите, что нужно сохранить: произведение величин или общий коэффициент последовательных изменений.
  2. Для процентных изменений переведите каждый процент r в положительный коэффициент 1+r/100.
  3. Перемножьте все коэффициенты; при длинном наборе вместо произведения найдите сумму их логарифмов.
  4. Возьмите корень степени n либо экспоненту среднего логарифма, сохраняя точность до последнего шага.
  5. Если нужен средний процент изменения, вычтите единицу из полученного коэффициента и умножьте на 100.

Историческая справка

Геометрическое среднее двух положительных величин связано с классической задачей о средней пропорциональной: a/G=G/b, откуда G²=ab. В древнегреческой традиции оно рассматривалось вместе с арифметическим и гармоническим средними; сведения об этой тройке сохранились в контексте музыкальных пропорций у Архита. Современная формула для n значений использует произведение и корень соответствующей степени. Развитие логарифмических вычислений позволило представить тот же расчёт через среднее логарифмов, что удобно и для программ. В документации NIST геометрическое среднее описывается как отдельная статистика положительных наблюдений. Его сегодняшнее применение к коэффициентам роста основано на сохранении произведения, а не на отдельном изобретении средней доходности античными математиками.

Историческая линия формулы

Это одно из классических средних теории пропорций. Историческая связь с античной математикой относится прежде всего к двум величинам; общая запись через произведение, логарифмы и число наблюдений отражает дальнейшее развитие математического языка и вычислений.

Пример

Показатель за первый период вырос на 20%, за второй уменьшился на 20%. Начальное значение примем равным 100 единицам. Коэффициенты двух шагов равны 1,2 и 0,8, произведение — 0,96. Средний коэффициент G=sqrt(0,96)=0,979795897…; соответствующее изменение за один равный период составляет (G−1)·100%=−2,0204103…%. Проверка: 100·1,2·0,8=96 и 100·G²=96. Ответ: среднее снижение примерно 2,02% за период. Усреднение процентов как (20−20)/2=0 дало бы конечное значение 100, поэтому для этой постановки оно неверно. Речь идёт об эквивалентном постоянном коэффициенте, а не о прогнозе следующего периода.

Частая ошибка

Не перемножайте сами проценты: произведение 20·(−20) не описывает последовательное изменение. Не берите корень квадратный, если периодов больше двух: степень корня равна числу равных периодов. Не объявляйте G−1 средним абсолютным приростом: это относительное изменение. Нуль и отрицательные исходные значения требуют другой постановки, а не скрытой замены их малым положительным числом.

Практика

Задачи с решением

Три значения

Условие. Найдите геометрическое среднее чисел 2, 8 и 32.

Решение. Произведение равно 512; G=∛512=8. Проверка: 8³=512.

Ответ. 8

Рост и возврат

Условие. Один период дал рост 25%, следующий — снижение 20%. Найдите среднее изменение за равный период.

Решение. Коэффициенты 1,25 и 0,8; произведение 1. G=sqrt(1)=1, (G−1)·100%=0%.

Ответ. 0%

Дополнительные источники

  • https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/geommean.htm
  • https://plato.stanford.edu/entries/archytas/

Связанные формулы

Аналитика

Гармоническое среднее: скорости на равных участках

$H=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}1/x_i}$

Гармоническое среднее усредняет положительные величины через их обратные значения. Для движения по равным участкам оно даёт среднюю скорость всего пути, учитывая разное время на каждом участке.

Аналитика

Среднее арифметическое

$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$

Среднее арифметическое показывает типичный уровень числового показателя как сумму всех значений, деленную на количество наблюдений.

Финансы

Сложные проценты с ежегодной капитализацией

$FV=P(1+r)^n$

Формула сложных процентов показывает будущую стоимость суммы, когда проценты после каждого периода добавляются к капиталу и в следующих периодах тоже участвуют в начислении.