Аналитика / Описательная статистика

Гармоническое среднее: скорости на равных участках

Гармоническое среднее усредняет положительные величины через их обратные значения. Для движения по равным участкам оно даёт среднюю скорость всего пути, учитывая разное время на каждом участке.

Опубликовано: 15 октября 2026 г.Обновлено: 15 октября 2026 г.

Формула

H=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}1/x_i}

График Средняя скорость, км/ч и Вторая скорость, км/ч

Равные расстояния; скорость на первом участке 60 км/ч. Меньшая скорость сильнее влияет на общее время.

Обозначения

$H$: гармоническое среднее, единица исходного показателя
$xᵢ$: положительное значение скорости или производительности, единица исходного показателя
$n$: число равноправных значений, шт.

Условия применения

Все значения xᵢ строго положительны и выражены в одинаковых единицах. Простое среднее H предполагает одинаковые веса. В задаче движения это означает равные расстояния на участках: скорость на каждом участке постоянна либо уже является средней скоростью именно этого участка.

Ограничения

При равном времени движения нужно арифметическое среднее скоростей, а не гармоническое. Нулевое значение не допускает прямой подстановки в 1/xᵢ. Остановка требует отдельного добавления времени простоя. Разные расстояния нельзя считать одинаковыми по весу только потому, что участков два.

Подробное объяснение

Средняя скорость — отношение полного пути ко всему затраченному времени. Пусть каждый из n участков имеет длину s, а скорость на участке i равна xᵢ. Время этого участка составляет s/xᵢ. Сумма расстояний равна ns, сумма времён — s(1/x₁+…+1/xₙ). После сокращения s получается гармоническое среднее.

Обратная скорость показывает, сколько времени требуется на единицу пути. Именно эти величины складываются при равных расстояниях. Медленный участок занимает больше времени и сильнее влияет на итог. Поэтому арифметическое среднее двух различных скоростей завышает скорость всего маршрута.

Для двух значений удобно преобразование H=2ab/(a+b). При a=b результат равен общей скорости. Если одну скорость увеличивать без ограничения, сохраняя вторую a, среднее приближается к 2a: время медленного участка нельзя устранить ускорением на другом.

Для положительных чисел гармоническое среднее не превышает геометрическое и арифметическое. Равенство всех трёх достигается, когда исходные значения одинаковы. Это полезная проверка, но она не заменяет правильный выбор весов.

При разных расстояниях sᵢ средняя скорость равна Σsᵢ/Σ(sᵢ/xᵢ). Та же структура возникает для производительности: равные партии делят на соответствующую скорость выпуска, складывают времена и делят общий выпуск на найденное время.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что сравниваются скорости на равных расстояниях, а не за равные промежутки времени.
Приведите все скорости к одним единицам; для каждого значения сохраните соответствующий участок пути.
Найдите обратные скорости 1/xᵢ и сложите их без преждевременного округления промежуточных дробей.
Разделите число участков n на сумму обратных скоростей; единица ответа совпадает с единицей скорости.
Проверьте результат через полный путь и время: вычислите время каждого участка отдельно и сложите.

Историческая справка

Гармоническое среднее относится к трём классическим средним, обсуждавшимся в древнегреческой математике и музыкальной теории. Сохранившаяся традиция связывает описание арифметического, геометрического и гармонического средних с Архитом Тарентским, работавшим в IV веке до нашей эры. Исторический контекст связан с пропорциями, а не с автомобильными скоростями. Современная запись через сумму обратных величин обобщает двухчленное отношение на произвольное число положительных данных. В вычислительной статистике это отдельная операция: например, документация NIST Dataplot явно задаёт n/Σ(1/xᵢ). Современные транспортные примеры объясняют применение определения, но не устанавливают дату его открытия. Поэтому древнюю теорию пропорций и нынешнюю алгоритмическую запись следует различать.

Историческая линия формулы

Гармоническое среднее принадлежит древней традиции изучения пропорций; с Архитом связаны сохранившиеся сведения о трёх средних в музыкальной теории. Запись для n значений и её использование для средних скоростей не следует приписывать ему как отдельное современное открытие.

Пример

Автомобиль прошёл 180 км со скоростью 60 км/ч и ещё 180 км со скоростью 90 км/ч. Найдём среднюю скорость без остановок. Расстояния равны, поэтому H=2/(1/60+1/90)=2/(5/180)=72 км/ч. Проверим по определению: первый участок занял 180/60=3 ч, второй — 180/90=2 ч. Всего пройдено 360 км за 5 ч, и 360/5=72 км/ч. Арифметическое среднее 75 км/ч здесь не подходит: на меньшей скорости автомобиль ехал дольше. Ответ лежит между 60 и 90 км/ч и ниже их арифметического среднего. Если добавить час остановки, средняя скорость маршрута станет 360/6=60 км/ч; простая формула для двух движущихся участков остановку сама не учитывает.

Частая ошибка

Первая ошибка — усреднять скорости арифметически при равных расстояниях: складывать нужно времена s/v. Вторая — применять невзвешенную формулу к участкам разной длины; используйте Σsᵢ/Σ(sᵢ/vᵢ). Третья — включать остановку как участок с нулевой скоростью и делить на ноль: прибавьте её длительность к времени маршрута.

Практика

Задачи с решением

Два равных участка

Условие. Скорости на равных участках 40 и 80 км/ч. Найдите среднюю скорость.

Решение. H=2·40·80/(40+80)=6400/120=53,333… км/ч.

Ответ. 53,33 км/ч

Равные партии

Условие. Две партии по 24 детали изготовлены с производительностью 6 и 12 деталей/ч. Найдите среднюю производительность.

Решение. Время 24/6+24/12=4+2=6 ч. Всего 48 деталей; 48/6=8 деталей/ч.

Ответ. 8 деталей/ч

Дополнительные источники

https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/harmmean.htm
https://plato.stanford.edu/entries/archytas/

Связанные формулы

Аналитика

Геометрическое среднее: произведение и темпы изменения

$G=\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{1/n}=\exp\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln x_i\right)$

Геометрическое среднее заменяет набор положительных множителей одним одинаковым множителем, сохраняя их произведение. Для последовательных изменений оно усредняет коэффициенты роста, а не проценты напрямую.

Физика

Средняя скорость движения

$v=\frac{s}{t}$

Средняя скорость показывает, какой путь тело в среднем проходит за единицу времени на выбранном участке движения, даже если внутри участка скорость менялась.

Аналитика

Среднее арифметическое

$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$

Среднее арифметическое показывает типичный уровень числового показателя как сумму всех значений, деленную на количество наблюдений.