Физика / Статистическая физика

Энтропия Больцмана через число микросостояний

Формула Больцмана связывает энтропию макросостояния с числом микросостояний, которые его реализуют. Чем больше способов устроить систему без изменения наблюдаемых параметров, тем выше энтропия.

Опубликовано: 2 июня 2026 г.Обновлено: 2 июня 2026 г.

Формула

S=k_B\ln W

учебная схема Макросостояние и множество микросостояний

Один и тот же набор макроскопических параметров показан как множество разных микроскопических раскладок частиц.

Энтропия растет с числом микроскопических реализаций макросостояния.

Обозначения

$S$: энтропия макросостояния, Дж/К
$k_B$: постоянная Больцмана, Дж/К
$W$: число микросостояний, совместимых с макросостоянием, безразмерное

Условия применения

Микросостояния считаются различимыми в рамках выбранной статистической модели и имеют одинаковый вес для микроканонического ансамбля.
Число W должно быть безразмерным; логарифм от величины с единицами физически не определен.
Макросостояние задается набором наблюдаемых параметров, например энергией, объемом, числом частиц и допустимым интервалом точности.

Ограничения

Для непрерывных фазовых пространств требуется аккуратная нормировка ячеек, обычно связанная с постоянной Планка, иначе W не является простым целым числом.
В неравновесных процессах формула применима только к хорошо определенному распределению или локальному равновесию; одного числа W может не хватать.
Для канонического ансамбля удобнее работать со статистической суммой и свободной энергией, хотя смысл энтропии остается статистическим.

Подробное объяснение

Формула S=k_B ln W раскрывает статистический смысл энтропии. Макроскопически система может выглядеть одинаково, хотя микроскопически частицы распределены множеством разных способов. Энтропия измеряет логарифм этого множества возможностей.

Логарифм нужен для аддитивности. Если две независимые подсистемы имеют W1 и W2 микросостояний, общая система имеет W1W2 вариантов. Логарифм превращает произведение в сумму, поэтому энтропии независимых частей складываются.

Постоянная Больцмана переводит безразмерный счет микросостояний в термодинамические единицы Дж/К. Рост W на много порядков дает линейный рост S по логарифму, поэтому энтропия остается удобной макроскопической величиной даже для огромного числа частиц.

В задачах формула полезна для простых моделей, где W можно посчитать комбинаторно: распределение частиц по ячейкам, спины в решетке, размещение энергии по уровням. Она также объясняет, почему наиболее вероятные макросостояния имеют максимальную энтропию.

Нужно отличать термодинамическую вероятность W от обычной вероятности от 0 до 1. В исторической записи Больцмана W - число или мера микроскопических вариантов, а не шанс события.

Как пользоваться формулой

Определите макросостояние и набор микросостояний, которые с ним совместимы.
Посчитайте W как безразмерное число вариантов или нормированную меру.
Возьмите натуральный логарифм W, а не десятичный логарифм.
Умножьте результат на постоянную Больцмана.
Проверьте, что при объединении независимых систем энтропии складываются.

Историческая справка

Людвиг Больцман развивал статистическое объяснение второго начала термодинамики в 1860-1870-х годах. Его работы связали тепловые свойства газа с движением огромного числа молекул и вероятностным счетом микросостояний. В 1877 году он явно использовал связь энтропии с логарифмом числа способов реализовать состояние.

В конце XIX века статистическая трактовка встретила сопротивление, потому что атомистическая картина еще не была общепринятой. Работы Максвелла, Больцмана и затем Гиббса постепенно сделали вероятностный подход основой тепловой физики.

Знаменитая запись S=k ln W выбита на надгробии Больцмана в Вене, хотя современная форма и обозначение k_B закрепились позднее. В XX веке формула стала мостом между термодинамикой, кинетической теорией, информационными идеями и статистикой многих частиц.

Историческая линия формулы

Формулу связывают с Людвигом Больцманом и развитием статистической механики 1870-х годов. Современная запись с k_B является итогом более позднего закрепления постоянной Больцмана и ансамблевого языка. В учебном изложении важно указывать эту преемственность, потому что современная запись объединяет экспериментальную традицию, математический аппарат и более позднюю стандартизацию обозначений.

Пример

Пусть макросостояние системы реализуется W=1,0*10^8 микросостояний. Дано: k_B=1,380649*10^-23 Дж/К. Нужно найти S. Подстановка: S=k_B ln W=1,380649*10^-23 * ln(10^8). Так как ln(10^8)=8 ln 10 примерно 18,42, получаем S≈2,54*10^-22 Дж/К. Ответ: энтропия такого макросостояния равна примерно 2,5*10^-22 Дж/К. Проверка: логарифм безразмерен, поэтому единицы результата полностью задаются k_B. При увеличении W в 10 раз энтропия выросла бы не в 10 раз, а на k_B ln 10. Дополнительная проверка: если изменить главный масштабный параметр в два раза, результат меняется именно так, как предсказывает формула; это подтверждает и размерность, и физический смысл вычисления.

Частая ошибка

Часто подставляют W с размерностью, например объем фазового пространства без деления на элементарную ячейку. Вторая ошибка - считать, что энтропия пропорциональна W напрямую; на самом деле зависимость логарифмическая. Третья ошибка - забывать, что W относится к макросостоянию, а не к одной выбранной микрокартине. Также нельзя смешивать десятичный логарифм и натуральный логарифм без множителя ln 10.

Практика

Задачи с решением

Увеличение числа состояний

Условие. Во сколько изменится энтропия, если W увеличить в e^3 раз?

Решение. Delta S=k_B ln(e^3)=3k_B.

Ответ. энтропия увеличится на 3k_B

Два независимых блока

Условие. Система A имеет W1=100, система B имеет W2=1000. Найдите S/k_B для объединения.

Решение. W=W1W2=100000, S/k_B=ln W=ln(10^5)=5ln10.

Ответ. S/k_B≈11,51

Дополнительные источники

L. Boltzmann, Lectures on Gas Theory
J. W. Gibbs, Elementary Principles in Statistical Mechanics
K. Huang, Statistical Mechanics

Связанные формулы

Физика

Каноническое распределение Гиббса

$P_i=\frac{e^{-E_i/(k_BT)}}{Z}$

Каноническое распределение Гиббса задает вероятность микросостояния системы при тепловом равновесии с термостатом. Состояния с большей энергией подавляются экспоненциальным множителем Больцмана.

Физика

Статистическая сумма канонического ансамбля

$Z=\sum_i e^{-E_i/(k_BT)}$

Каноническая статистическая сумма складывает больцмановские веса всех микросостояний системы. Она нормирует вероятности и служит исходной величиной для вычисления свободной энергии, средней энергии и теплоемкости.

Физика

Свободная энергия Гельмгольца через статистическую сумму

$F=-k_BT\ln Z$

Формула связывает свободную энергию Гельмгольца канонической системы со статистической суммой. Она переводит микроскопический спектр состояний в термодинамический потенциал при фиксированных T, V и N.