Математика / Пределы, ряды

Теорема о среднем для определенного интеграла

Теорема о среднем утверждает, что интеграл непрерывной функции на отрезке равен значению функции в некоторой точке, умноженному на длину отрезка. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Формула

\int_a^b f(x)\,dx=f(c)(b-a),\quad c\in[a,b]

Обозначения

$f(x)$: непрерывная функция на [a,b], единицы измеряемой величины
$a,b$: концы отрезка интегрирования, единицы x
$c$: точка, в которой функция равна своему среднему значению, единицы x
$f(c)$: среднее значение функции на отрезке, единицы f

Условия применения

Функция f непрерывна на замкнутом отрезке [a,b].
Длина отрезка положительна: a<b.
Интеграл понимается как определенный интеграл Римана или более общий интеграл, где сохраняются свойства непрерывных функций.
Точка c может быть не единственной.

Ограничения

Если функция разрывна, точка со значением ровно среднего может не существовать.
Теорема гарантирует существование c, но обычно не указывает, как найти ее явно.
Для знакопеременных функций геометрическая площадь с учетом знака может давать среднее, не равное обычной площади фигуры.
При b=a формула вырождается и не задает среднее делением на длину.

Подробное объяснение

Теорема о среднем для интеграла связывает площадь под графиком с высотой некоторого прямоугольника той же площади. Если интеграл разделить на длину отрезка, получается среднее значение функции; непрерывность гарантирует, что функция действительно принимает это значение в какой-то точке.

Доказательство опирается на теорему Вейерштрасса о достижении минимума и максимума. Если m≤f(x)≤M на [a,b], то m(b-a)≤∫_a^b f(x)dx≤M(b-a). После деления на b-a среднее значение лежит между m и M, а теорема о промежуточных значениях дает точку c.

Формула не утверждает, что c находится посередине отрезка. Для симметричных функций это может случиться, но в общем случае точка зависит от формы графика. Иногда таких точек несколько, особенно если функция повторно принимает одно и то же значение.

В приложениях теорема оправдывает переход от переменной величины к среднему уровню. Например, средняя скорость по времени, средняя плотность распределения или средняя температура на интервале выражаются именно как интеграл, деленный на длину промежутка.

Для разрывных функций ситуация тоньше. Интегральное среднее может лежать между существенными значениями, но функция может нигде его не принимать. Поэтому условие непрерывности является не украшением, а механизмом существования точки c.

Как пользоваться формулой

Проверьте непрерывность функции на замкнутом отрезке [a,b].
Вычислите интеграл функции на этом отрезке.
Разделите интеграл на длину b-a, чтобы получить среднее значение.
Если нужно найти точку c, решите уравнение f(c)=среднее значение.
Проверьте, что найденная точка лежит внутри [a,b].
Помните, что точек c может быть несколько, а теорема гарантирует хотя бы одну.

Историческая справка

Теорема о среднем для интеграла является частью классического анализа XIX века, где свойства непрерывных функций на отрезке были связаны с определенным интегралом. Ее доказательство опирается на результаты о достижении экстремумов и промежуточных значениях, которые стали строгими после работ Коши, Больцано и Вейерштрасса.

Идея среднего значения старше строгой теории: в механике и геометрии давно использовали замену переменной величины постоянной, дающей тот же суммарный эффект. Однако именно интегральная формулировка объяснила, при каких условиях такая постоянная высота действительно совпадает со значением функции в некоторой точке.

В учебниках теорема служит мостом между геометрическим смыслом интеграла и аналитическими оценками. Она также подготавливает среднее значение функции на отрезке, интегральные оценки и вероятностные интерпретации математического ожидания для непрерывных распределений.

Историческая линия формулы

Формула не имеет единственного персонального автора. Она принадлежит классической теории определенного интеграла и непрерывных функций, сформировавшейся в XIX веке. Исторически корректно связывать ее с развитием строгого анализа Коши-Вейерштрасса, а не с отдельным открытием. Поэтому в источниках обычно указывают учебную или научную традицию, а не единственного автора короткой записи.

Пример

Задача. Найти среднее значение функции f(x)=1+x^2 на отрезке [0,2] и точку c, где оно достигается. Дано: a=0, b=2. Сначала вычислим интеграл: ∫_0^2(1+x^2)dx=[x+x^3/3]_0^2=2+8/3=14/3. Среднее значение равно (1/(2-0))·14/3=7/3. По теореме существует c∈[0,2], для которого f(c)=7/3. Решаем 1+c^2=7/3, получаем c^2=4/3, c=2/sqrt(3). Ответ: среднее значение 7/3, подходящая точка c=2/sqrt(3). Проверка: c≈1.155 лежит внутри [0,2], а f(c)=1+4/3=7/3. Интеграл равен площади прямоугольника ширины 2 и высоты 7/3: 2·7/3=14/3. Дополнительная проверка: сравниваем результат с исходной записью при допустимых значениях переменных или на граничном случае из условия. Если обе записи дают одно и то же значение и не нарушают ограничения, преобразование выполнено согласованно.

Частая ошибка

Часто забывают разделить интеграл на длину отрезка и называют средним значением сам интеграл. Другая ошибка — считать, что c обязательно равно середине (a+b)/2. При разрывных функциях иногда применяют теорему без проверки непрерывности, хотя именно она обеспечивает достижение среднего. В задачах со знакопеременной функцией путают интеграл с геометрической площадью без учета знака, из-за чего среднее значение получается неверным.

Практика

Задачи с решением

Среднее значение квадратичной функции

Условие. Для f(x)=x^2 на [0,3] найти среднее значение и точку c.

Решение. Среднее равно (1/3)∫_0^3 x^2 dx=(1/3)·9=3. Нужно c^2=3, значит c=sqrt(3).

Ответ. f(c)=3, c=sqrt(3).

Оценка интеграла

Условие. Если 2≤f(x)≤5 на [1,4], оценить интеграл.

Решение. По свойствам интеграла 2·(4-1)≤∫_1^4 f(x)dx≤5·(4-1).

Ответ. 6≤∫_1^4 f(x)dx≤15.

Дополнительные источники

Apostol, Calculus, Vol. 1, average value of a function
Thomas' Calculus, section on the mean value theorem for integrals
Fichtenholz, Differential and Integral Calculus, Vol. 2, definite integral
Zorich, Mathematical Analysis I, continuous functions and integral

Связанные формулы

Математика

Среднее значение функции на отрезке

$f_{\text{ср}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$

Формула среднего значения связывает значение функции на отрезке с ее интегралом и даёт характеристику типичного уровня функции на [a,b].

Математика

Свойства определенного интеграла

$\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx, \quad \int_a^a f(x)dx=0, \quad \int_a^b (f\pm g)dx=\int_a^b fdx \pm \int_a^b gdx$

Набор базовых алгебраических свойств определенного интеграла: линейность, смена знаков пределов, нулевой интеграл на пустом отрезке.

Математика

Площадь под графиком

$S = \int_a^b f(x)\,dx$

Сформулировка площади (с учётом знака) для функции на отрезке [a,b] при геометрической интерпретации как интегральной суммы.

Математика

Формула Ньютона-Лейбница

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a),\quad F'(x)=f(x)$

Смысл формулы: если есть первообразная F функции f, определённая на отрезке [a,b], то определённый интеграл на этом отрезке равен разности значений первообразной на концах.

Математика

Непрерывность функции в точке

$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$

Непрерывность в точке означает, что предельное значение функции совпадает с ее значением в самой точке. Это первый и самый важный мост от понятия предела к вычислениям и графикам.