Инженерия / Гидравлика
Число Фруда: скорость потока и гравитационные волны
Число Фруда сравнивает скорость потока с гравитационным масштабом √(gL). В открытом русле длиной служит гидравлическая глубина, поэтому критерий помогает различать докритическое и сверхкритическое течение.
Формула
Поток и длинная волна в канале
Обозначения
- $U$
- средняя скорость потока, м/с
- $g$
- ускорение свободного падения, м/с²
- $L$
- характерная длина; в русле гидравлическая глубина, м
- $A$
- площадь живого сечения, м²
- $B$
- ширина свободной поверхности, м
- $\mathrm{Fr}$
- число Фруда в определении со скоростью, 1
Условия применения
В открытом русле применяется приближение длинных волн с характерной длиной L = A/B. Для прямоугольного сечения это обычная глубина воды. Скорость берут среднюю по сечению; при модельном подобии геометрический масштаб и ускорение g должны быть заданы явно.
Ограничения
Гидравлическую глубину A/B нельзя путать с гидравлическим радиусом по смоченному периметру. Формула скорости волн √(gL) не универсальна для коротких капиллярных волн. Совпадение Fr модели и натуры не обеспечивает одновременно подобия вязкости и поверхностного натяжения.
Подробное объяснение
В потоке со свободной поверхностью возмущение может двигаться относительно самой жидкости. В длинноволновом приближении для открытого русла его гравитационная скорость оценивается как √(gA/B). Деление средней скорости потока на этот масштаб даёт Fr.
При Fr меньше единицы длинное возмущение способно распространяться вверх по течению: его скорость относительно воды больше скорости сноса. При Fr больше единицы поток уносит такие возмущения вниз. Равенство единице обозначает критическое состояние именно в этой модели.
Для прямоугольного русла A = Bh, поэтому A/B = h. Для трапецеидального или другого сечения обычная максимальная глубина уже не обязана совпадать с гидравлической. Выбор случайной глубины может изменить вывод о близости к критическому течению.
Отношение масштабов инерционной и гравитационной сил пропорционально U²/(gL), то есть квадрату принятого здесь числа. Поэтому в источниках встречаются разные соглашения. При сравнении чисел необходимо сначала сверить определение Fr, а не просто одинаковую букву.
При одинаковом g сохранение Fr даёт скорость, пропорциональную квадратному корню длины. Модель, уменьшенная по длине в 25 раз, требует скорости в 5 раз меньше. Это условие гравитационного подобия, которое отдельно проверяют на совместимость с влиянием вязкости и капиллярности.
Как пользоваться формулой
- Определите геометрию сечения; для открытого русла найдите площадь A и ширину свободной поверхности B, затем L = A/B.
- Получите среднюю скорость из расхода U = Q/A либо из заданных данных, согласуя единицы длины и времени.
- Вычислите √(gL), разделите на него скорость U и отдельно запишите квадрат, если сравниваемый источник использует Fr².
- Сделайте вывод о длинных гравитационных волнах в рамках русловой модели; при масштабировании отдельно проверьте другие критерии.
Историческая справка
Гравитационное подобие связано с традицией физических моделей судов и гидротехнических сооружений XIX и XX веков. Главная идея состоит в сохранении соотношения инерции и силы тяжести при изменении размера модели. Современное руководство Bureau of Reclamation по измерению расхода вводит число Фруда через гидравлическую глубину и связывает единичное значение с критическим потоком. Оно отдельно предупреждает, что при моделировании нужно учитывать различия потерь от трения. Это важный переход от одной красивой масштабной формулы к воспроизводимому эксперименту: одинаковая геометрия и Fr ещё не гарантируют одинаковое влияние всех сил. Здесь традиционное имя используется для гравитационного критерия, без попытки приписать одному исследователю всю последующую теорию каналов и модельных испытаний.
Историческая линия формулы
Название Фруда применяется к принятому скоростному критерию U/√(gL). Историческая связь относится к гравитационному подобию; конкретные современные правила измерения расхода и определения гидравлической глубины подтверждаются профильным руководством, а не одной фамилией.
Пример
В прямоугольном канале средняя скорость U = 2 м/с, глубина h = 0,5 м, g = 9,81 м/с². Здесь L = h, поэтому скорость длинной волны √(9,81·0,5) = √4,905 ≈ 2,214723 м/с. Получаем Fr ≈ 2/2,214723 = 0,903047. Независимая проверка квадрата: Fr² = 4/4,905 ≈ 0,815494. Ответ Fr меньше единицы соответствует докритическому течению в длинноволновом русловом приближении. Это не порог ламинарности и не утверждение об отсутствии волн. Если в справочнике дано отношение сил без квадратного корня, сравнивать с ним нужно 0,815494, а не 0,903047. Все исходные длины переведены в метры.
Частая ошибка
Не подставляйте гидравлический радиус вместо A/B. Не называйте квадрат критерия тем же числом без определения. Не связывайте Fr с порогом ламинарности. Не переносите скорость длинной волны на любой короткий поверхностный рельеф. Не считайте совпадение одного критерия полным подобием модели.
Практика
Задачи с решением
Расход и сечение
Условие. Канал прямоугольный: ширина 3 м, глубина 0,8 м, расход 4,8 м³/с. Найдите Fr при g = 9,81.
Решение. Площадь A = 3·0,8 = 2,4 м², U = 4,8/2,4 = 2 м/с. L = A/B = 0,8 м. Fr = 2/√7,848 ≈ 0,713922.
Ответ. Fr ≈ 0,713922.
Масштаб модели
Условие. Длину модели уменьшили в 25 раз. Натурная скорость 5 м/с, g одинаково. Какую скорость задаёт подобие Fr?
Решение. Из U/√L = const получаем Uм/Uн = √(1/25) = 1/5. Тогда Uм = 5/5 = 1 м/с.
Ответ. Скорость модели 1 м/с.
Дополнительные источники
- https://www.usbr.gov/tsc/techreferences/mands/wmm/chap02_12.html
- https://www.usbr.gov/tsc/techreferences/mands/wmm/chap02_11.html
Связанные формулы
Инженерия
Расход в трубе по скорости потока
Расход в трубе по скорости потока: формула Q=vA помогает величины Q, v, A заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Инженерия
Число Вебера: инерция и поверхностное натяжение
Число Вебера сравнивает инерционный и капиллярный масштабы давления. Оно полезно для капель и струй, но требует явного выбора скорости, плотности, размера и поверхностного натяжения между конкретными фазами.
Инженерия
Число Рейнольдса в круглой трубе
Число Рейнольдса в круглой трубе: формула Re=\frac{\rho vD}{\mu} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется определить режим течения в трубе. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.