Информатика

Цифровая обработка сигналов

ДПФ, дискретная свёртка, дискретизация, алиасинг и окна.

Как выбрать подходящий материал

Для дискретного преобразования задайте частоту дискретизации и число отсчётов: от них зависят частотные координаты спектра.
Окно меняет оценку амплитуды, а свёртка — последовательность данных. Алиасинг нельзя устранить простым увеличением числа точек уже записанного сигнала.

5 формул

Формулы темы

Дискретное преобразование Фурье и обратная формула

Дискретное преобразование Фурье переводит конечную последовательность в комплексные частотные коэффициенты. Обратная сумма восстанавливает все отсчёты; знак экспоненты и нормировку нужно выбирать согласованно.

$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-2\pi i kn/N},\qquad x_n=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}X_k e^{2\pi i kn/N}$

Частоты и амплитуды по коэффициентам ДПФ

Шаг частот ДПФ равен частоте дискретизации, делённой на длину записи. Для вещественной гармоники точно на внутреннем частотном отсчёте амплитуда равна удвоенному модулю коэффициента, делённому на число отсчётов.

$\Delta f=\frac{f_s}{N},\quad f_k=\frac{kf_s}{N},\quad A_k=\frac{2|X_k|}{N}\quad(0<k<N/2)$

Наложение частот: расчёт алиаса при дискретизации

При равномерной дискретизации вещественного гармонического сигнала частоты, отличающиеся на целое число частот дискретизации и знак, могут давать одинаковые отсчёты. Частота алиаса лежит от нуля до половины частоты дискретизации.

$f_a=\min_{m\in\mathbb Z}|f-mf_s|,\qquad 0\le f_a\le f_s/2$

Линейная свёртка конечных последовательностей

Линейная свёртка складывает сдвинутые копии одной последовательности с весами другой. Для конечных массивов, продолженных нулями, полный результат содержит сумму их длин минус один отсчёт.

$y_n=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_k h_{n-k},\qquad L_y=L_x+L_h-1$

Окно Ханна: коэффициенты и поправка амплитуды

Симметричное окно Ханна плавно уменьшает края записи до нуля. Оно снижает дальнюю спектральную утечку ценой расширения главного лепестка и изменения амплитуды, поэтому масштаб спектра требует отдельной поправки.

$w_n=\frac12\left(1-\cos\frac{2\pi n}{N-1}\right),\quad G_c=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}w_n,\quad N>1$