Все формулы РФ

Информатика / Алгоритмы и анализ данных

Частоты и амплитуды по коэффициентам ДПФ

Шаг частот ДПФ равен частоте дискретизации, делённой на длину записи. Для вещественной гармоники точно на внутреннем частотном отсчёте амплитуда равна удвоенному модулю коэффициента, делённому на число отсчётов.

Опубликовано: Обновлено:

Кодирование информацииАнализ данныхСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаКалькулятор

Формула

$$\Delta f=\frac{f_s}{N},\quad f_k=\frac{kf_s}{N},\quad A_k=\frac{2|X_k|}{N}\quad(0<k<N/2)$$
Схема Односторонний спектр: тон 100 Гц
Односторонний спектр: тон 100 ГцОдносторонний спектр: тон 100 Гц001003200030004000A, Вf, Гц

Для N=8 и fₛ=800 Гц пиковая амплитуда 3 В находится на частоте 100 Гц.

Обозначения

$fₛ$
частота равномерной дискретизации, Гц
$N$
число реально обработанных отсчётов, 1
$k$
номер положительного частотного отсчёта, 1
$Xₖ$
ненормированный коэффициент ДПФ, единица сигнала
$Aₖ$
пиковая амплитуда вещественной гармоники, единица сигнала

Условия применения

Использована прямая сумма без множителя 1/N. Сигнал вещественный, окно прямоугольное, тон совпадает с частотной сеткой. Удвоение относится к положительным частотам внутри интервала; постоянную составляющую и частоту Найквиста при чётном N не удваивают.

Ограничения

При утечке спектра энергия одного тона распределяется по соседним коэффициентам, поэтому высота одного пика занижает амплитуду. При окне нужна поправка на его сумму. Шаг сетки после дополнения нулями не равен способности разделить два близких тона.

Подробное объяснение

У N равномерных отсчётов периодическое продолжение имеет период N/fₛ. Его базовая частота равна обратной длительности, то есть fₛ/N. Время от первого до последнего отсчёта составляет (N−1)/fₛ, но для сетки ДПФ используют полный период N/fₛ, включая интервал до следующего повторения.

В стандартном порядке коэффициенты после середины массива обозначают отрицательные частоты. Для чётного N частотная шкала имеет вид 0,1,…,N/2−1,−N/2,…,−1, умноженный на fₛ/N. Для одностороннего спектра вещественного сигнала достаточно неотрицательной половины с отдельной обработкой границ.

Косинус A·cos(2πkn/N+φ) распадается на две комплексные экспоненты амплитуды A/2. В ненормированном ДПФ каждая даёт модуль N·A/2. Отсюда A=2|Xₖ|/N. При нулевой частоте сопряжённая пара совпадает сама с собой; удвоение там ошибочно.

Полученная A — пиковая амплитуда, а не среднеквадратичная величина. Для чистого ненулевого косинуса среднеквадратичное значение равно A/√2. Размерность сигнала сохраняется: если вход в вольтах, выходная амплитуда тоже в вольтах, хотя индекс k безразмерен.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте частоту дискретизации и число отсчётов; вычислите период продолжения и шаг частот именно для ДПФ.
  2. Отделите положительные индексы от отрицательных, учитывая особый средний коэффициент при чётной длине массива.
  3. Для внутреннего положительного пика умножьте модуль коэффициента на два и разделите на длину записи без окна.
  4. Проверьте попадание тона на сетку и наличие окна; отдельно обработайте постоянную составляющую и частоту Найквиста.

Историческая справка

Частотная сетка возникает из периодичности конечного гармонического разложения. Её шаг определяется числом отсчётов и интервалом дискретизации, поэтому одинаковый массив чисел при разных частотах измерения получает разные подписи в герцах. Масштабирование оси не меняет самих комплексных сумм.

В цифровой обработке XX–XXI веков библиотеки закрепили несколько соглашений о порядке коэффициентов и нормировке. Документация функции fftfreq описывает стандартный порядок знаковых частот, а руководства по преобразованиям отдельно объясняют односторонний спектр вещественных данных. Формула амплитуды следует из разложения косинуса на сопряжённую пару и не требует приписывать ей отдельного изобретателя.

Историческая линия формулы

Соотношения для частот и амплитуд — следствия выбранного определения ДПФ и комплексного представления косинуса. Они относятся к практике цифрового спектрального анализа; одинаковое название функции в разных библиотеках не гарантирует одинаковой нормировки.

Пример

Измерено N=8 отсчётов напряжения при fₛ=800 Гц: xₙ=3·cos(2πn/8) В. Шаг Δf=800/8=100 Гц. Ненулевые коэффициенты: X₁=12 В и X₇=12 В; остальные равны нулю с точностью округления. Индекс 1 соответствует +100 Гц, индекс 7 — −100 Гц. Амплитуда одностороннего спектра A=2·12/8=3 В. Среднеквадратичное напряжение этого тона 3/√2≈2,12132 В. Проверка по отсчётам: среднее квадратов равно 4,5 В², его корень тот же. Период записи 8/800=0,01 с; интервал между первым и последним отсчётом 0,00875 с не используют в знаменателе Δf.

Частая ошибка

Не подписывайте индекс 7 в примере как +700 Гц без учёта периодичности: стандартный спектр трактует его как −100 Гц. Не удваивайте постоянный коэффициент. Не называйте пиковую амплитуду действующим значением. Нули между измеренными отсчётами спектра не увеличивают длительность наблюдения.

Практика

Задачи с решением

Длина записи

Условие. fₛ=1000 Гц, N=200. Найдите шаг и частоту k=12.

Решение. Δf=1000/200=5 Гц; f₁₂=12·5=60 Гц.

Ответ. 5 Гц и 60 Гц.

Постоянное смещение

Условие. N=16, X₀=32 В. Найдите среднее напряжение.

Решение. Среднее равно X₀/N=32/16=2 В, удвоение не применяется.

Ответ. 2 В.

Калькулятор

Расчёт: Частота fₖ

Частотная сетка ДПФ, без дополнения нулями; вычисляется частота по неотрицательному индексу.

Введите значенияКалькулятор покажет ответ, промежуточные величины и ход подстановки.
  • Частотная сетка ДПФ, без дополнения нулями; вычисляется частота по неотрицательному индексу.

Дополнительные источники

  • https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.fft.fftfreq.html
  • https://docs.scipy.org/doc/scipy/tutorial/fft.html
  • https://numpy.org/doc/stable/reference/routines.fft.html

Связанные формулы

Информатика

Дискретное преобразование Фурье и обратная формула

$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-2\pi i kn/N},\qquad x_n=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}X_k e^{2\pi i kn/N}$

Дискретное преобразование Фурье переводит конечную последовательность в комплексные частотные коэффициенты. Обратная сумма восстанавливает все отсчёты; знак экспоненты и нормировку нужно выбирать согласованно.

Информатика

Окно Ханна: коэффициенты и поправка амплитуды

$w_n=\frac12\left(1-\cos\frac{2\pi n}{N-1}\right),\quad G_c=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}w_n,\quad N>1$

Симметричное окно Ханна плавно уменьшает края записи до нуля. Оно снижает дальнюю спектральную утечку ценой расширения главного лепестка и изменения амплитуды, поэтому масштаб спектра требует отдельной поправки.

Физика

Частота волны

$\nu=\frac{1}{T}=\frac{v}{\lambda}$

Частота волны равна обратной величине периода и также равна скорости волны, деленной на длину волны. Измеряется в герцах.