Все формулы РФ

Информатика / Алгоритмы и анализ данных

Наложение частот: расчёт алиаса при дискретизации

При равномерной дискретизации вещественного гармонического сигнала частоты, отличающиеся на целое число частот дискретизации и знак, могут давать одинаковые отсчёты. Частота алиаса лежит от нуля до половины частоты дискретизации.

Опубликовано: Обновлено:

Кодирование информацииАнализ данныхСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаКалькулятор

Формула

$$f_a=\min_{m\in\mathbb Z}|f-mf_s|,\qquad 0\le f_a\le f_s/2$$
Схема 700 Гц и 300 Гц: одни отсчёты
700 Гц и 300 Гц: одни отсчёты700 Гц и 300 Гц: одни отсчёты0123xn

fₛ=1000 Гц. Точки показывают совпадение двух косинусов при целых n.

Обозначения

$f$
неотрицательная частота исходного тона, Гц
$fₛ$
положительная частота дискретизации, Гц
$m$
целое число периодов частотной шкалы, 1
$fₐ$
неотрицательная частота алиаса, Гц

Условия применения

Отсчёты берутся равномерно с частотой fₛ>0; рассматривается одиночная вещественная гармоника. Для гарантированного восстановления произвольного сигнала его спектр должен быть ограничен строго ниже fₛ/2, а измерение — соответствовать принятой модели.

Ограничения

Сворачивание частоты не восстанавливает уже потерянную информацию. Для комплексных сигналов нужно сохранять знак частоты. Фаза при отражении синусоиды меняется; равенство модулей спектра не означает равенство произвольных начальных фаз.

Подробное объяснение

В момент n/fₛ комплексная гармоника частоты f получает фазу 2πfn/fₛ. Добавление m·fₛ меняет её на целое число оборотов 2πmn. Поэтому все частоты f+m·fₛ совпадают после дискретизации. Для вещественного косинуса смена знака частоты также не меняет отсчёты при соответствующей фазе.

Чтобы найти неотрицательную частоту, сначала возьмите остаток r от деления f на fₛ в интервале [0;fₛ). Затем выберите меньшее из r и fₛ−r. Это равносильно поиску расстояния до ближайшего целого кратного fₛ. Частотная шкала складывается гармошкой, а не просто обрезается на половине частоты измерения.

Если непрерывный спектр имеет компоненты выше fₛ/2, они накладываются на допустимую полосу. После получения отсчётов обычный цифровой фильтр уже не отличит полезный низкий тон от его высокочастотного двойника. Поэтому подавляющий высокие частоты фильтр ставят до аналого-цифрового преобразования.

Граница fₛ/2 требует осторожности. Синус с этой частотой и нулевой начальной фазой даёт sin(πn)=0 во всех точках, хотя между ними не равен нулю. Строгое ограничение полосы исключает такой случай. На практике оставляют переходную полосу для реального фильтра, а не выбирают частоту измерения ровно удвоенной.

Как пользоваться формулой

  1. Запишите исходную частоту и частоту измерения в одинаковых единицах; убедитесь в равномерности временных отсчётов.
  2. Вычислите остаток исходной частоты по частоте дискретизации в диапазоне от нуля до одного полного периода.
  3. Сравните остаток с его расстоянием до верхней границы периода и выберите меньшее как неотрицательную частоту.
  4. Проверьте совпадение отсчётов с учётом фазы; для реального измерения оцените полосу фильтра перед преобразователем.

Историческая справка

Теория выборки связала непрерывное описание сигналов с последовательностями измерений. В XX веке задачи передачи и цифровой обработки потребовали точно указать, при какой полосе отсчёты сохраняют исходную информацию. В изложении Джулиуса О. Смита история этой теории связана с работами Найквиста и Шеннона, а доказательство строится через периодическое повторение спектра.

Формула сворачивания частоты — простое следствие этой периодичности для одного тона. Она описывает наблюдаемый эффект, а теорема восстановления добавляет условие ограниченной полосы. Разделение этих двух утверждений существенно: вычислить ложную частоту можно и тогда, когда восстановление произвольного исходного сигнала уже невозможно.

Историческая линия формулы

Наложение частот описывается теорией равномерной выборки и периодичностью дискретного спектра. Названия Найквиста и Шеннона относятся к истории передачи и восстановления сигналов; частота алиаса выводится непосредственно из совпадения фаз на целых отсчётах.

Пример

Косинус x(t)=cos(2π·700t) измеряют с fₛ=1000 Гц. Остаток r=700 Гц; fₛ−r=300 Гц, поэтому алиас fₐ=300 Гц. В точках n/1000 выполняется cos(1,4πn)=cos(2πn−0,6πn)=cos(0,6πn). Для n=0,1,2,3 оба косинуса дают примерно 1;−0,309017;−0,809017;0,809017. Между отсчётами волны различаются. Увеличение числа измеренных точек при прежней частоте опроса не устраняет неоднозначность: формула совпадения верна для любого целого n. Для восстановления сигнала с полосой до 700 Гц нужна частота строго выше 1400 Гц и подходящий входной фильтр.

Частая ошибка

Нельзя считать любой пик ниже fₛ/2 исходной физической частотой без проверки входного спектра. Остаток r может превышать половину частоты измерения, тогда его отражают. Не переносите равенство косинусов на синусы без изменения фазы. Длинная запись повышает частотную детализацию, но не предел Найквиста.

Практика

Задачи с решением

Несколько периодов

Условие. Найдите алиас 2300 Гц при fₛ=1000 Гц.

Решение. Остаток 2300−2·1000=300 Гц; минимум из 300 и 700 равен 300.

Ответ. 300 Гц.

Частота Найквиста

Условие. Что дадут отсчёты sin(2π·500t) при fₛ=1000 Гц?

Решение. В момент n/1000 аргумент равен πn, синус равен нулю для любого целого n.

Ответ. Нулевая последовательность.

Калькулятор

Расчёт: Частота алиаса

Неотрицательная частота алиаса вещественного тона. Исходную частоту по отсчётам восстановить однозначно нельзя.

Введите значенияКалькулятор покажет ответ, промежуточные величины и ход подстановки.
  • Неотрицательная частота алиаса вещественного тона. Исходную частоту по отсчётам восстановить однозначно нельзя.

Дополнительные источники

  • https://www.dsprelated.com/freebooks/mDFT/Sampling_Theorem.html
  • https://www.dsprelated.com/freebooks/mDFT/Sampling_Theory.html
  • https://docs.scipy.org/doc/scipy/tutorial/fft.html

Связанные формулы

Информатика

Частоты и амплитуды по коэффициентам ДПФ

$\Delta f=\frac{f_s}{N},\quad f_k=\frac{kf_s}{N},\quad A_k=\frac{2|X_k|}{N}\quad(0<k<N/2)$

Шаг частот ДПФ равен частоте дискретизации, делённой на длину записи. Для вещественной гармоники точно на внутреннем частотном отсчёте амплитуда равна удвоенному модулю коэффициента, делённому на число отсчётов.

Информатика

Дискретное преобразование Фурье и обратная формула

$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-2\pi i kn/N},\qquad x_n=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}X_k e^{2\pi i kn/N}$

Дискретное преобразование Фурье переводит конечную последовательность в комплексные частотные коэффициенты. Обратная сумма восстанавливает все отсчёты; знак экспоненты и нормировку нужно выбирать согласованно.

Информатика

Размер аудиофайла по частоте дискретизации

$I=f\cdot t\cdot b\cdot c$

Размер аудиофайла по частоте дискретизации: формула I=f\cdot t\cdot b\cdot c помогает величины I, f, t, b заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.