Математика

Геометрия, страница 3

Формулы для фигур, окружностей, площадей, длин и пространственных объектов.

142 формулы

Таблица формул

Показаны 121-142 из 142. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Скалярное произведение векторов	$a\cdot b=\sum_{i=1}^{n}a_i b_i$	Матрицы, определители	Скалярное произведение складывает попарные произведения координат двух векторов и дает число. Через него находят длину, угол между векторами, ортогональность и проекции.
Косинус угла между векторами	$\cos\varphi=\frac{a\cdot b}{\\|a\\|\,\\|b\\|}$	Матрицы, определители	Косинус угла между двумя ненулевыми векторами равен скалярному произведению, деленному на произведение их длин. Формула переводит координаты в геометрический угол.
Проекция вектора на ненормированный вектор	$\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{u^{\top}v}{u^{\top}u}\,u$	Матрицы, определители	Проекция вектора v на направление u вычисляется через скалярное произведение с нормированием на длину u. Эта формула связывает вычисление с геометрическим смыслом ортогонального разложения: она показывает, какая часть вектора идет вдоль выбранного направления, а какая остается поперек него.
Разложение вектора на параллельную и перпендикулярную части	$v=\operatorname{proj}_{u}(v)+\left(v-\operatorname{proj}_{u}(v)\right),\quad u^{\top}\left(v-\operatorname{proj}_{u}(v)\right)=0$	Матрицы, определители	Любой вектор раскладывается на компоненту вдоль u и ортогональную остаточную часть. Эта формула связывает вычисление с геометрическим смыслом ортогонального разложения: она показывает, какая часть вектора идет вдоль выбранного направления, а какая остается поперек него.
Первый вектор в Gram-Schmidt	$q_1=\frac{a_1}{\\|a_1\\|}$	Матрицы, определители	Нормировка первого столбца задает первый ортонормированный вектор. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода.
k-й шаг алгоритма Gram-Schmidt	$u_k=a_k-\sum_{j=1}^{k-1}(q_j^{\top}a_k)\,q_j,\quad q_k=\frac{u_k}{\\|u_k\\|}$	Матрицы, определители	Для каждого нового столбца убирают вклад уже построенных ортонормированных направлений, затем нормируют остаток. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода.
Коэффициенты R через скалярные произведения	$R_{ij}=q_i^{\top}a_j,\quad a_j=\sum_{i=1}^{j}R_{ij}q_i,\quad R_{ij}=0\ (i>j)$	Матрицы, определители	После построения Q каждую колонку a_j раскладывают по уже найденным q_i. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода.
Формула QR-разложения	$A = QR,\quad Q^{\top}Q=I_r,\quad R \text{ верхнетреугольная}$	Матрицы, определители	Матрица A раскладывается в произведение ортонормированной матрицы Q и верхнетреугольной R. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода.
Проектор на span(Q)	$P=QQ^{\top},\quad P^2=P,\quad P^{\top}=P$	Матрицы, определители	Проецирование на пространство столбцов Q удобно через матрицу QQ^T. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода.
Наименьшие квадраты через QR	$\hat{x}=R^{-1}Q^{\top}b,\quad A=QR$	Матрицы, определители	После QR-раскладывания задача минимизации сводится к решению треугольной системы. Формула показывает устойчивый способ работать с задачей наименьших квадратов через ортогональную геометрию, а не через прямое обращение матрицы или слепое использование нормальных уравнений.
Нормальные уравнения в QR-форме	$A^T A x = A^T b,\quad R^T R x = R^T Q^T b$	Матрицы, определители	Из A=QR получаем эквивалентное равенство через R, сохраняя идею нормальных уравнений. Формула показывает устойчивый способ работать с задачей наименьших квадратов через ортогональную геометрию, а не через прямое обращение матрицы или слепое использование нормальных уравнений.
Остаток в задаче ЛС и его ортогональность	$r=b-A\hat{x},\quad A^T r=0,\quad Q^T r=0$	Матрицы, определители	Оптимальный LS-решение дает остаток, перпендикулярный всем столбцам A (и столбцам Q). Формула показывает устойчивый способ работать с задачей наименьших квадратов через ортогональную геометрию, а не через прямое обращение матрицы или слепое использование нормальных уравнений.
Сингулярное разложение матрицы	$A=U\Sigma V^T,\quad U^TU=I,\quad V^TV=I$	Матрицы, определители	Сингулярное разложение представляет матрицу как произведение двух ортогональных матриц и диагональной матрицы сингулярных чисел. Это универсальная форма разложения, которая работает для прямоугольных матриц и показывает главные направления действия линейного отображения.
Ранг матрицы через сингулярные числа	$\operatorname{rank}(A)=\#\{i:\sigma_i>0\}$	Матрицы, определители	Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных чисел. Эта формула связывает алгебраическое понятие размерности образа с численной диагностикой зависимости строк и столбцов.
Спектральная норма через сингулярные числа	$\\|A\\|_2=\sigma_{\max}(A)=\sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}$	Матрицы, определители	Спектральная норма матрицы равна ее наибольшему сингулярному числу. Она показывает максимальный коэффициент растяжения вектора при действии линейного отображения.
Норма Фробениуса через след и сингулярные числа	$\\|A\\|_F^2=\operatorname{tr}(A^TA)=\sum_{i,j}a_{ij}^2=\sum_k\sigma_k^2$	Матрицы, определители	Квадрат нормы Фробениуса равен следу матрицы A^T A, сумме квадратов всех элементов и сумме квадратов сингулярных чисел. Это удобная мера общего размера матрицы.
Циклическое свойство следа матрицы	$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA),\quad \operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(BCA)=\operatorname{tr}(CAB)$	Матрицы, определители	След произведения матриц не меняется при циклической перестановке множителей, если все произведения определены. Это свойство помогает упрощать доказательства, производные матричных функций и выражения с нормами.
Дополнение Шура	$S=D-CA^{-1}B$	Матрицы, определители	Дополнение Шура выражает эффективный блок матрицы после исключения другого блока. Оно появляется при блочном обращении матриц, решении систем, вычислении определителей и условных распределениях в статистике.
Обратная блочной матрицы через дополнение Шура	$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{pmatrix},\quad S=D-CA^{-1}B$	Матрицы, определители	Формула обращает блочную матрицу через обратный блок A и обратное дополнение Шура. Она показывает, как получить обратную матрицу без обращения всей матрицы целиком.
Лемма об определителе матрицы	$\det(A+uv^T)=\det(A)\left(1+v^TA^{-1}u\right)$	Матрицы, определители	Лемма об определителе показывает, как меняется определитель обратимой матрицы при ранговом обновлении uv^T. Вместо пересчета всего определителя достаточно вычислить один скаляр.
Формула Шермана-Моррисона	$(A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1+v^TA^{-1}u}$	Матрицы, определители	Формула Шермана-Моррисона дает обратную матрицу после рангового обновления A+uv^T. Она позволяет обновить уже известную обратную матрицу без полного повторного обращения.
Формула Вудбери	$(A+UCV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(C^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}$	Матрицы, определители	Формула Вудбери обобщает обновление обратной матрицы на добавку малого ранга UCV. Она позволяет заменить обращение большой матрицы обращением меньшей матрицы.