Аналитика / Описательная статистика

t-тест Уэлча для средних с разными дисперсиями

t-тест Уэлча для средних с разными дисперсиями: формула t=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}} помогает величины t, x_1, x_2, s_1 заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Опубликовано: 3 июня 2026 г.Обновлено: 3 июня 2026 г.

Формула

t=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}}

Обозначения

$t$: время
$x_1$: параметр формулы x_1, значение выбирают из условия задачи
$x_2$: параметр формулы x_2, значение выбирают из условия задачи
$s_1$: параметр формулы s_1, значение выбирают из условия задачи
$s_2$: параметр формулы s_2, значение выбирают из условия задачи
$n_1$: параметр формулы n_1, значение выбирают из условия задачи
$n_2$: параметр формулы n_2, значение выбирают из условия задачи

Когда применять

Практический сценарий страницы — величины t, x_1, x_2, s_1 заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. Область: прикладной статистики. Модель задают до подстановки: Формулу применяют, когда величины t, x_1, x_2, s_1 заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. Затем сверяют обозначения: t — время; x_1 — параметр формулы x_1, значение выбирают из условия задачи; x_2 — параметр формулы x_2, значение выбирают из условия задачи. Чужая строка, группа, лист или единица — повод остановить расчет.

Условия применения

Формулу применяют, когда величины t, x_1, x_2, s_1 заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта.
Значения для расчета согласованы по смыслу: t — время; x_1 — параметр формулы x_1, значение выбирают из условия задачи.
Единицы, период наблюдения, лист таблицы или расчетная схема выбраны до подстановки.

Ограничения

Формула относится к области прикладной статистики и не заменяет выбор модели.
Если данные взяты из разных источников или периодов, результат нельзя сравнивать напрямую.
Округление промежуточных строк допустимо только после проверки единиц и масштаба.

Подробное объяснение

Смысл страницы «t-тест Уэлча для средних с разными дисперсиями» — величины t, x_1, x_2, s_1 заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. Формула t=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}} нужна не сама по себе, а как короткая модель из области прикладной статистики. Перед вычислением проверяют условие: Формулу применяют, когда величины t, x_1, x_2, s_1 заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. Обозначения читают до арифметики: t — время; x_1 — параметр формулы x_1, значение выбирают из условия задачи; x_2 — параметр формулы x_2, значение выбирают из условия задачи; s_1 — параметр формулы s_1, значение выбирают из условия задачи. Похожую величину с другой базой не берут автоматически. Такой шаг особенно важен в материалах, где рядом стоят близкие формулы. Рабочая ситуация: в выборке 2 400 заказов нужно оценить долю возвратов и интервал неопределенности, поэтому сначала фиксируют размер выборки, число событий и выбранный уровень доверия. Достаточно одной подстановки и проверки. Проверка строится от масштаба выборки: при большем числе наблюдений оценка должна становиться устойчивее, а не прыгать сильнее от одного события; для этой записи отдельно сверяют t — время. После получения результата его сверяют с ограничениями. Знак, единица и порядок величины должны соответствовать исходной модели. Если проверка не проходит, исправляют не финальную строку, а выбор данных.

Как пользоваться формулой

Сформулируйте, что именно нужно найти, и выберите запись t=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}}.
Выпишите исходные величины: t — время; x_1 — параметр формулы x_1, значение выбирают из условия задачи; x_2 — параметр формулы x_2, значение выбирают из условия задачи.
Проверьте единицы, период, диапазон таблицы или геометрическую схему.
Подставьте значения без раннего округления.
Сверьте знак, масштаб и поведение результата при изменении главного параметра.

Историческая справка

История записи «t-тест Уэлча для средних с разными дисперсиями» связана с практикой прикладной статистики. Такие формулы закреплялись потому, что помогали величины t, x_1, x_2, s_1 заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В учебниках и справочниках постепенно стабилизировались обозначения: t — время; x_1 — параметр формулы x_1, значение выбирают из условия задачи. Современная форма t=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}} ценна тем, что дает короткий путь от условия к проверяемому результату. Для этой страницы историческая справка полезна еще и как защита от неверной аналогии: Формулу применяют, когда величины t, x_1, x_2, s_1 заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В разных источниках могут меняться буквы, порядок записи и единицы, но расчетная потребность остается прежней: сначала выбрать модель, затем проверить данные и только потом считать. Исторический блок здесь нужен не для украшения, а для понимания модели и ее границ.

Историческая линия формулы

У записи «t-тест Уэлча для средних с разными дисперсиями» нет одного бытового автора. Контекст — развитие прикладной статистики. Также важны учебные курсы и рабочие методики. Формула t=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}} здесь дана как современная расчетная запись. Имена из источников уточняют историю метода, но не заменяют условия применения.

Пример

Пример: аналитик сравнивает два сегмента клиентов и заранее отделяет наблюдения, которые относятся к разным периодам или разным определениям события. Цель для «t-тест Уэлча для средних с разными дисперсиями» — величины t, x_1, x_2, s_1 заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. Расчет начинают с вопроса, а не с поиска похожей формулы. Рабочие величины: t — время; x_1 — параметр формулы x_1, значение выбирают из условия задачи; x_2 — параметр формулы x_2, значение выбирают из условия задачи. Дальше данные подставляют в t=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}} без смены модели по ходу решения. Проверка строится от масштаба выборки: при большем числе наблюдений оценка должна становиться устойчивее, а не прыгать сильнее от одного события; для этой записи отдельно сверяют t — время. В конце меняют один ключевой параметр мысленно. Направление изменения должно совпасть со смыслом задачи.

Частая ошибка

Формула t=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}} не спасает, если исходная модель выбрана неверно. Сверьте обозначения: t — время; x_1 — параметр формулы x_1, значение выбирают из условия задачи; x_2 — параметр формулы x_2, значение выбирают из условия задачи. Частая ошибка — считать статистику по очищенной и неочищенной таблице одновременно, забывать о пропусках, округлять доли до процентов до подстановки и трактовать доверительный интервал как гарантию. Если ответ выглядит правдоподобно, проверьте его источник. Порядок простой: символ, значение, единица, источник, подстановка, округление.

Практика

Задачи с решением

Проверить исходные данные

Условие. Для «t-тест Уэлча для средних с разными дисперсиями» заданы величины из условия. Нужно величины t, x_1, x_2, s_1 заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта.

Решение. Составляем таблицу символов, значений, единиц и источников. Убираем данные, которые относятся к другой модели.

Ответ. К расчету оставлены только согласованные исходные величины.

Выполнить подстановку

Условие. Данные согласованы, требуется применить t=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}}.

Решение. Подставляем значения, сохраняем промежуточную точность и отдельно проверяем единицу результата.

Ответ. Ответ принимается только после проверки знака, масштаба и смысла.

Дополнительные источники

NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, hypothesis tests and regression diagnostics.
Kohavi, Tang, Xu. Trustworthy Online Controlled Experiments, Cambridge University Press, 2020.
Hyndman, Athanasopoulos. Forecasting: Principles and Practice, 3rd edition.

Связанные формулы

Аналитика

Критерий хи-квадрат независимости

$\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$

Критерий хи-квадрат независимости: формула \chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E} помогает величины chi, O, E заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Аналитика

Доверительный интервал для доли

$\hat p\pm z\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$

Доверительный интервал для доли: формула \hat p\pm z\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} помогает величины p, z, n заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Аналитика

Доверительный интервал для разности долей

$(p_1-p_2)\pm z\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$

Доверительный интервал для разности долей: формула (p_1-p_2)\pm z\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется оценить диапазон возможного uplift между группами. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Аналитика

Размер эффекта Cohen's d для двух средних

$d=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{s_p}$

Размер эффекта Cohen's d для двух средних: формула d=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{s_p} помогает величины d, x_1, x_2, s_p заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.